Доказать: если стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то радиус вписанного круга равен одной из высот.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC с равными катетами AC и BC на стороне AC как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону AB в точке M. Найдите расстояние от вершины B до центра этой окружности, если BM = .

   Решение

В треугольнике $ABC$ точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены. Прямая $PQ$ пересекает окружность $ABC$ в точке $X$. Прямая, симметричная $BC$ относительно $PQ$, пересекает прямую $AX$ в точке $E$. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$, $E$ лежат на одной окружности.

   Решение

В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 9, вписана окружность радиуса 4. Найдите площадь трапеции.

   Решение

На плоскости начерчены треугольник $ABC$, описанная около него окружность и центр $I$ его вписанной окружности. Пользуясь только линейкой, постройте центр описанной окружности.

   Решение

Около окружности радиуса R описана равнобедренная трапеция ABCD. E и K – точки касания этой окружности с боковыми сторонами трапеции. Угол между основанием AB и боковой стороной AD трапеции равен 60°. Докажите, что  EK || AB  и найдите площадь трапеции ABKE.

   Решение

В треугольнике ABC:  ∠C = 60°,  ∠A = 45°.  Пусть M – середина BC, H – ортоцентр треугольника ABC.
Докажите, что прямая MH проходит через середину дуги AB описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB₁ и CC₁. Докажите, что если  CC₁B₁ = 30^o, то либо  A = 60^o, либо  B = 120^o.

   Решение

Прямая l перпендикулярна одной из медиан треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам этого треугольника пересекают прямую l в трёх точках. Докажите, что одна из них является серединой отрезка, образованного двумя оставшимися.

   Решение

Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Прямая l перпендикулярна одной из медиан треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам этого треугольника пересекают прямую l в трёх точках. Докажите, что одна из них является серединой отрезка, образованного двумя оставшимися.

Решение

  Пусть прямая l перпендикулярна медиане BM, а серединные перпендикуляры к сторонам AB, AC, BC пересекают l в точках X, Y и Z (см. рис.). Точки K, M, L – середины этих сторон, O – центр описанной окружности, N – точка пересечения l и BM. Из перпендикулярности прямых следует, что
∠XOY = ∠BAC,  ∠YOZ = ∠BCA,  ∠OXZ = ∠ABM,  ∠OZX = ∠CBM.  Дальше можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Треугольники YOX и MAB подобны, следовательно,  YX : MB = YO : MA.  Треугольники YOZ и MCB также подобны, следовательно,
YZ : MB = YO : MC.  Поскольку  MA = MC,  то  YX = YZ.

  Второй способ. Продлим медиану BM на ее длину (см. риc.). Тогда треугольники BAD и XOZ подобны. Поскольку AM – медиана треугольника BAD и
∠BAM = ∠XOY,  то OY – медиана треугольника XOZ, что и требовалось.

Замечания

Утверждение верно для произвольной тройки прямых, перпендикулярных сторонам треугольника и пересекающихся в одной точке.

Источники и прецеденты использования