Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что  ∠$PDA$ = ∠$PBA$.  Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая против вершины $A$, а ω – вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна $AD$.

   Решение

Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

   Решение

В ряд выписаны несколько нулей и единиц. Рассмотрим пары цифр в этом ряду (не только соседних), где левая цифра равна 1, а правая 0. Пусть среди этих пар ровно M таких, что между единицей и нулем этой пары стоит чётное число цифр, и ровно N таких, что между единицей и нулем этой пары стоит нечётное число цифр. Докажите, что  M ≥ N.

   Решение

При каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что  |$a - b$| ≤ $k$  или  |¹/_a – ¹/_b| ≤ $k$?

   Решение

Дано n чисел, p – их произведение. Разность между p и каждым из этих чисел – нечётное число. Докажите, что все данные n чисел иррациональны.

   Решение

Что больше
  а) 2³⁰⁰ или 3²⁰⁰?
  б) 2⁴⁰ или 3²⁸?
  в) 5⁴⁴ или 4⁵³?

   Решение

В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ – середины сторон BC, CA и AB соответственно. Точки B₂ и C₂ – середины отрезков BA₁ и CA₁ соответственно. Точка B₃ симметрична C₁ относительно B, а точка C₃ симметрична B₁ относительно C. Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников BB₂B₃ и CC₂C₃ лежит на описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

К натуральному числу  a > 1  приписали это же число и получили число b, кратное a². Найдите все возможные значения числа  ^b/_a².

   Решение

а) Мальвина разбила каждую грань куба 2×2×2 на единичные квадраты и велела Буратино в некоторых квадратах написать крестики, а в остальных нолики так, чтобы каждый квадрат граничил по сторонам с двумя крестиками и двумя ноликами. На рисунке показано, как Буратино выполнил задание (видно только три грани). Докажите, что Буратино ошибся.

б) Помогите Буратино выполнить задание правильно. Достаточно описать хотя бы одну верную расстановку.

   Решение

Дан картонный прямоугольник со сторонами a см и b см, где  ^b/₂ < a < b.
Докажите, что его можно разрезать на три куска, из которых складывается квадрат.

   Решение

Пусть $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. На стороне $BC$ нашлись точки $X$ и $Y$ такие, что $AX=BX$ и $AY=CY$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $AXY$, проходит через центры описанных окружностей треугольников $AOB$ и $AOC$.

   Решение

Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ касается ω. Окружность Ω_b с центром P проходит через вершину B, а окружность Ω_c с центром Q – через C. Докажите, что окружности Ω, Ω_b и Ω_c имеют общую точку.

   Решение

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ касается ω. Окружность Ω_b с центром P проходит через вершину B, а окружность Ω_c с центром Q – через C. Докажите, что окружности Ω, Ω_b и Ω_c имеют общую точку.

Решение

  Обозначим через O центр треугольника ABC.

  Первый способ. Пусть Ω касается отрезков BQ, QP и PC в точках K, L и M соответственно (рис. слева). В силу симметрии равностороннего треугольника прямые BO и CO проходят через точки M и K соответственно.
  Отложим на луче LO отрезок  OX = OA  (так что X лежит на окружности Ω). Отрезки LX и MB симметричны относительно прямой PO, значит,
PX = PB,  то есть точка X лежит на окружности Ω_b. Аналогично X лежит и на окружности Ω_c.

  Второй способ. Окружности Ω и Ω_b пересекаются в точке B. Вторая точка B' их пересечения симметрична точке B относительно линии центров PO (рис. справа). Аналогично вторая точка C' пересечения окружностей Ω и Ω_c симметрична точке C относительно QO.
  Докажем, что точки B' и C' совпадают. Поскольку  OB' = OB = OC = OC';  достаточно проверить, что  ∠BOB' + ∠COC' = ∠BOC (= 120°).  Поскольку прямые PO и QO – биссектрисы углов BOB' и COC', последнее равенство равносильно равенству  ∠POQ = 60°.
  Но  ∠POQ = 180° – ½ (∠BQP + ∠CPQ) = 180° – ½ (360° – ∠B – ∠C) = 60°.

Источники и прецеденты использования