Выбрано 11 задач 
Убрать все задачи
Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A1...An и соединена отрезками с вершинами. Стороны n-угольника нумеруются числами от 1 до n, разные стороны нумеруются разными числами. То же самое делается с отрезками OA1, ..., OAn.
а) При n = 9 найти нумерацию, при которой сумма номеров сторон для всех треугольников A1OA2, ..., AnOA1 одинакова.
б) Доказать, что при n = 10 такой нумерации осуществить нельзя.
Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие одинаковое число друзей (из этой компании).
Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены
в два цвета. Докажите, что существуют две горизонтальные
и две вертикальные прямые, на пересечении которых лежат
точки одного цвета.
Точки A и B движутся по двум фиксированным лучам с общим
началом O так, что величина
+
остается
постоянной. Докажите, что прямая AB при этом проходит через
фиксированную точку.
На клетчатой доске 5×5 расставили максимальное число шахматных коней так, чтобы они не били друг друга.
Докажите, что такая расстановка единственна.
Даны две точки A и B и окружность. Найти на окружности точку X так, чтобы прямые AX и BX отсекли на окружности хорду CD, параллельную данной прямой MN.
Многоугольник M' гомотетичен многоугольнику M
с коэффициентом гомотетии -1/2. Докажите, что существует
параллельный перенос, переводящий многоугольник M' внутрь
многоугольника M.
Пусть характеристическое уравнение (11.3) последовательности {an} имеет корень x0 кратности 2. Докажите, что при фиксированных a0, a1 существует ровно одна пара чисел c1, c2 такая, что
На сторонах треугольника ABC как на основаниях построены подобные равнобедренные треугольники AB1С и AC1B внешним образом и BA1C внутренним образом. Докажите, что AB1A1C1 – параллелограмм.
Докажите, что точка X лежит на прямой AB тогда и только тогда,
когда
= t
+ (1 - t)
для некоторого t
и любой точки O.
Дан правильный 12-угольник A1A2...A12.
Можно ли из 12 векторов выбрать семь, сумма которых равна нулевому вектору?
|
|
 |
Условие
Дан правильный 12-угольник A1A2...A12.
Можно ли из 12 векторов выбрать семь, сумма которых равна нулевому вектору?
Решение
Отложим векторы, равные данным, из одной точки. Они поделят полный угол при ней на углы по 30°. Возьмём любые три вектора, образующие между собой углы по 120°. Сумма этих векторов нулевая. Среди оставшихся девяти векторов есть три пары противоположных. Добавив две такие пары к трём выбранным векторам, получим искомую семёрку.
Ответ
Можно.
Замечания
3 балла
