Выбрано 11 задач 
Убрать все задачи
В остроугольном треугольнике $ABC$ $CM$ – медиана, $P$ – проекция ортоцентра $H$ на биссектрису угла $C$. Докажите, что $MP$ делит отрезок $CH$ пополам.
Среди всех многоугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот,
у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.
На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB,
BC, CA построены полуокружности S1, S2, S3 по одну сторону
от AC. D — такая точка на S3, что
BD AC. Общая
касательная к S1 и S2, касается этих полуокружностей в точках
F и E соответственно.
а) Докажите, что прямая EF параллельна касательной
к S3, проведенной через точку D.
б) Докажите, что BFDE — прямоугольник.
На шахматной доске 8×8 отмечены центры всех полей. Можно ли тринадцатью прямыми, не проходящими через эти центры, разбить доску на части так, чтобы внутри каждой из них лежало не более одной отмеченной точки?
На плоскости дано 25 точек, причем среди любых
трех из них найдутся две на расстоянии меньше 1. Докажите,
что существует круг радиуса 1, содержащий не меньше 13 из этих точек.
Постройте четырехугольник ABCD, в который можно
вписать окружность, зная длины двух соседних сторон AB
и AD и углы при вершинах B и D.
По кругу стоят мальчики и девочки (есть и те, и другие), всего 20 детей. Известно, что у каждого мальчика сосед по часовой стрелке – ребёнок в синей футболке, а у каждой девочки сосед против часовой стрелки – ребёнок в красной футболке. Можно ли однозначно установить, сколько в круге мальчиков?
В треугольнике ABC высота AM не меньше BC, а
высота BH не меньше AC. Найдите углы треугольника ABC.
Окружность S касается равных сторон AB и BC
равнобедренного треугольника ABC в точках P и K, а также
касается внутренним образом описанной окружности треугольника ABC.
Докажите, что середина отрезка PK является
центром вписанной окружности треугольника ABC.
Какую фигуру образует множество всех вершин равнобедренных треугольников, имеющих общее основание?
Пользуясь равенством $\lg11=1{,}0413\ldots$, найдите наименьшее число $n>1$, для которого среди $n$-значных чисел нет ни одного, равного некоторой натуральной степени числа 11.
|
|
 |
Условие
Пользуясь равенством $\lg11=1{,}0413\ldots$, найдите наименьшее число $n>1$, для которого среди $n$-значных чисел нет ни одного, равного некоторой натуральной степени числа 11.
Решение
Число $11^k$ является $n$-значным, если $10^{n-1} < 11^k < 10^n$, т. е. $n-1 < k\lg 11 < n$. Значит, $n=[k\lg 11]+1$. Если $k\leqslant 24$, то $k\lg 11 < k+1$ (и значит, $n=k+1$), так как $ k (\lg 11 - 1)\leqslant 24\cdot 0,0415=0,996 < 1$. Если $k\geqslant 25$, то $k\lg 11 > k+1$ (и значит, $n \geqslant k+2$), так как $k(\lg 11 - 1) \geqslant 0,041\cdot 25=1,025 > 1$.
Комментарий.
Можно показать, что натуральные степени числа 11 не бывают $n$-значными числами для $n= \left[k\frac{\lg 11}{\lg 11-1}\right]+1$, $k\in\mathbb{N}$, т. е. при $n=26,51,76,101,126,\ldots$
Последовательность вида $[\alpha n]$, где $\alpha>0$ иррациональное, называется последовательностью Битти в честь американского математика С. Битти, предложившего в 1926 г. такую задачу: доказать, что если $\alpha,\beta>1$ иррациональны и $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1$, то каждое натуральное число принадлежит ровно одной из последовательностей $[\alpha n]$, $[\beta n]$, $n\in\mathbb{N}$ (назовем их сопряженными). Последовательности значений $n$, для которых степени числа $11$ есть среди $(n+1)$-значных чисел и для которых их нет, суть сопряженные последовательности Битти $[k\lg 11]$ и $\left[k\frac{\lg 11}{\lg 11-1}\right]$, $k\in\mathbb{N}$, соответственно ($\alpha=\lg 11=1{,}0413\ldots$, $\beta=\frac{\lg 11}{\lg 11-1}=25{,}1588\ldots$).
Ответ
26.
