На плоскости даны две окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, касающиеся внешним образом. На окружности $\omega_{1}$ выбран диаметр $AB$, а на окружности $\omega_{2}$ выбран диаметр $CD$. Рассмотрим всевозможные положения точек $A$, $B$, $C$ и $D$, при которых $ABCD$ — выпуклый описанный четырёхугольник, и пусть $I$ — центр его вписанной окружности. Найдите геометрическое место точек $I$.

   Решение

В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль поменять местами любые две соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые две фишки, между которыми стоят ровно три фишки. За какое наименьшее количество рублей можно переставить фишки в обратном порядке?

   Решение

Существуют ли 100 таких натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, что куб одного из них равен сумме кубов остальных?

   Решение

Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что  ∠$PDA$ = ∠$PBA$.  Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая против вершины $A$, а ω – вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна $AD$.

   Решение

Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1. Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?

   Решение

Царь вызвал двух мудрецов. Он дал первому 100 пустых карточек и приказал написать на каждой по натуральному числу (числа не обязательно разные), не показывая их второму. Затем первый может сообщить второму несколько различных чисел, каждое из которых либо записано на какой-то карточке, либо равно сумме чисел на каких-то карточках (не уточняя, как именно каждое число получено). Второй должен определить, какие 100 чисел написаны на карточках. Если он этого не сможет, обоим отрубят головы; иначе из бороды каждого вырвут столько волосков, сколько чисел сообщил первый второму. Как мудрецам, не сговариваясь, остаться в живых и потерять минимальное количество волосков?

   Решение

Даны 15 целых чисел, среди которых нет одинаковых. Петя записал на доску все возможные суммы по 7 из этих чисел, а Вася – все возможные суммы по 8 из этих чисел. Могло ли случиться, что они выписали на доску одни и те же наборы чисел? (Если какое-то число повторяется несколько раз в наборе у Пети, то и у Васи оно должно повторяться столько же раз.)

   Решение

Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках A', B' и C'. Известно, что ортоцентры треугольников ABC и A'B'C' совпадают. Верно ли, что треугольник ABC – правильный?

   Решение

Квадратная комната разгорожена перегородками на несколько меньших квадратных комнат. Длина стороны каждой комнаты – целое число.
Докажите, что сумма длин всех перегородок делится на 4.

   Решение

Пусть AL и AK – внутренняя и внешняя биссектрисы треугольника ABC,  P – точка пересечения касательных к описанной окружности в точках B и C. Перпендикуляр, восставленный из точки L к BC, пересекает прямую AP в точке Q. Докажите, что Q лежит на средней линии треугольника LKP.

   Решение

Даны два тетраэдра. Ни у одного из них нет двух подобных граней, но каждая грань первого тетраэдра подобна какой-то грани второго.
Обязательно ли эти тетраэдры подобны?

   Решение

В треугольнике $ABC$ $I$ – центр вписанной окружности, $D$ – произвольная точка на стороне $BC$, серединный перпендикуляр к отрезку $AD$ пресекает прямые $BI$ и $CI$ в точках $F$ и $E$ соответственно. Найдите геометрическое место ортоцентров треугольников $EIF$.

   Решение

Докажите, что в неравнобедренном треугольнике одна из окружностей, касающихся вписанной и описанной окружностей внутренним, а одной из вневписанных внешним образом, проходит через вершину треугольника.

   Решение

В каждой вершине выпуклого многогранника сходятся три грани. Каждая грань покрашена в красный, жёлтый или синий цвет.
Докажите, что число вершин, в которых сходятся грани трёх разных цветов, чётно.

   Решение

Темы:    [ Раскраски ] [ Четность и нечетность ] [ Обход графов ] [ Степень вершины ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В каждой вершине выпуклого многогранника сходятся три грани. Каждая грань покрашена в красный, жёлтый или синий цвет.
Докажите, что число вершин, в которых сходятся грани трёх разных цветов, чётно.

Решение 1

Посмотрим на трёхцветную вершину. Из неё выходит ровно одно красно-жёлтое (принадлежащее красной и жёлтой грани) ребро. Пойдём по нему. В другом его конце сходятся красная и жёлтая грани. Если третья грань синяя, то это трёхцветная вершина, из которой не выходит других красно-жёлтых рёбер. Иначе из этой вершины выходит ещё ровно одно красно-жёлтое ребро. Пойдём по нему. Так, ходя по красно-жёлтым рёбрам, мы упрёмся в итоге в трёхцветную вершину, поскольку в пройденные вершины вернуться не можем. Таким образом, трёхцветные вершины разбиваются на пары – концы красно-жёлтых путей.

Решение 2

Покажем, что при перекрашивании граней чётность количества трёхцветных вершин не меняется. Это решит задачу, поскольку так мы можем сделать весь многогранник одноцветным, для которого утверждение задачи очевидно. Пусть какую-то красную грань мы перекрасили в жёлтый цвет. Смежные ей грани образуют цикл. Каждой паре соседних граней в нём соответствует одна вершина – общая с перекрашенной гранью. Заметим, что вершина поменяет свою трёхцветность (с "да" на "нет", или наоборот) тогда и только тогда, когда она соответствует паре граней синяя-несиняя. Ясно, что таких пар чётное число, что и завершает доказательство.

Решение 3

Рассмотрим граф многогранника и удалим в нём все одноцветные рёбра. Тогда степени трёхцветных вершин станут равны 3, двуцветных – 2, одноцветных – 0. По лемме о рукопожатиях в графе чётное число нечётных вершин, то есть трёхцветных.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования