Пусть A₁ и B₁ — проекции точки P описанной окружности треугольника ABC на прямые BC и AC. Докажите, что длина отрезка A₁B₁ равна длине проекции отрезка AB на прямую A₁B₁.

   Решение

В каждом из $16$ отделений коробки $4\times 4$ лежит по золотой монете. Коллекционер помнит, что какие-то две лежащие рядом монеты (соседние по стороне) весят по $9$ грамм, а остальные по $10$ грамм. За какое наименьшее число взвешиваний на весах, показывающих общий вес в граммах, можно определить эти две монеты?

   Решение

На плоскости синим и красным цветом окрашено несколько точек так, что никакие три точки одного цвета не лежат на одной прямой (точек каждого цвета не меньше трёх). Докажите, что какие-то три точки одного цвета образуют треугольник, на трёх сторонах которого лежит не более двух точек другого цвета.

   Решение

Существует ли вписанный в окружность $19$-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?

   Решение

Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру k раз, и все k раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение k.

   Решение

Куб со стороной 1 м распилили на кубики со стороной 1 см и положили их в ряд (по прямой). Какой длины оказался ряд?

   Решение

Докажите, что связный граф, имеющий не более двух нечётных вершин, можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз.

   Решение

Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных наибольшей диагонали?

   Решение

Темы:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Многоугольники (неравенства) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных наибольшей диагонали?

Решение

Примеры для каждого из этих случаев построить нетрудно. Многоугольника, у которого три или больше сторон равны наибольшей диагонали, не существует, поскольку две стороны, равные наибольшей диагонали, обязательно должны иметь общую вершину (см. рис.), а три стороны, каждые две из которых имеют общую вершину, могут быть только у треугольника, а у него нет диагоналей.

Ответ

две, одна или ни одной.

Источники и прецеденты использования