Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Существует ли треугольник со сторонами a = 7 и b = 2, если известно, что высота, опущенная на третью сторону этого треугольника, является средним геометрическим двух других высот?
Докажите, что если среди полученных фигур есть
p-звенная и q-звенная, то
p + qn + 4.
К натуральному числу a > 1 приписали это же число и получили число b, кратное a². Найдите все возможные значения числа b/a².
Петя записал несколько алгебраических выражений, возвёл каждое из них в квадрат и сложил результаты.
Могло ли у него в итоге получиться выражение x² + y² + z² + 3y + 4x + xz + 1?
Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру k раз, и все k раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение k.
Найдите натуральное число вида n = 2x3y5z, зная, что половина его имеет на 30 делителей меньше, треть – на 35 и пятая часть – на 42 делителя меньше, чем само число.
Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K. Известно, что AD = BC. Пусть M и N – середины сторон AB и CD. Докажите, что треугольник MNK тупоугольный.
Даны две точки A и B. Две окружности касаются
прямой AB (одна — в точке A, другая — в точке B) и касаются
друг друга в точке M. Найдите ГМТ M.
а) Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов заполнена числами. Переставим числа в каждой строке в порядке возрастания. Если после этого переставить числа в каждом столбце в порядке возрастания, то в каждой строке они по-прежнему будут стоять в порядке возрастания. Докажите это.
б) Что будет, если действовать в другом порядке: в первоначальной таблице сначала переставить числа по возрастанию в столбцах, а потом – в строках: получится ли в результате та же самая таблица, что и в первом случае, или другая?
|
|
 |
Условие
а) Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов заполнена числами. Переставим числа в каждой строке в порядке возрастания. Если после этого переставить числа в каждом столбце в порядке возрастания, то в каждой строке они по-прежнему будут стоять в порядке возрастания. Докажите это.
б) Что будет, если действовать в другом порядке: в первоначальной таблице сначала переставить числа по возрастанию в столбцах, а потом – в строках: получится ли в результате та же самая таблица, что и в первом случае, или другая?
Решение
а) Рассмотрим таблицу, у которой в каждой строке числа стоят в порядке
возрастания.
Докажем, что k-е по величине (считая от наибольшего) число bk в r-м столбце не меньше k-го числа ak в l-м столбце. Действительно, в l-м столбце имеется k чисел, не меньших ak. В тех же строках в r-м столбце имеется k чисел, не меньших ak. Поэтому ak ≤ bk.
Отсюда и следует утверждение задачи.
б) Пример см. на рисунке.
Ответ
б) Вообще говоря, другая.
