На каждой клетке доски 10×10 стоит фишка. Разрешается выбрать диагональ, на которой стоит чётное число фишек, и снять с неё любую фишку.
Какое наибольшее число фишек можно убрать с доски такими операциями?

   Решение

На клетчатой бумаге написана таблица, причём в каждой клетке стоит число, равное среднему арифметическому четырёх чисел, стоящих в соседних клетках. Все числа в таблице различны. Докажите, что наибольшее число стоит с края (то есть по крайней мере одна из соседних клеток отсутствует).

   Решение

Разложить на целые рациональные множители выражение  a¹⁰ + a⁵ + 1.

   Решение

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники A₁BC, AB₁C и ABC₁. Докажите, что AA₁ = BB₁ = CC₁.

   Решение

На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCP и CDQ. Докажите, что треугольник APQ правильный.

   Решение

На бирже Цветочного города 1 лимон и 1 банан можно обменять на 2 апельсина и 23 вишни, а 3 лимона – на 2 банана, 2 апельсина и 14 вишен. Что дороже: лимон или банан?

   Решение

Точки А, В и С лежат на прямой m, а точки D и Е на ней не лежат. Известно, что AD = AE и BD = BE. Докажите, что CD = CE.

   Решение

Докажите, что середины сторон правильного многоугольника образуют правильный многоугольник.

   Решение

Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого:
  а) (2n+1)-угольника;  б) 2n-угольника?

   Решение

Решите неравенство:
|x + 2000| < |x - 2001|.

   Решение

Число y получается из натурального числа x некоторой перестановкой его цифр. Докажите, что каково бы ни было x,  

   Решение

Докажите, что при повороте x'' = x'cosφ + y'sinφ,  y'' = - x'sinφ + y'cosφ выражение ax'² + 2bx'y' + cy'² переходит в a₁x'² + 2b₁x''y'' + c₁y'², причём a₁c₁ - b₁² = ac - b².

   Решение

В пачке 20 карточек: синие, красные и желтые. Синих в шесть раз меньше, чем желтых, и красных меньше, чем желтых. Какое наименьшее количество карточек надо вытащить не глядя, чтобы среди них обязательно оказалась красная?

   Решение

Диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что четыре проекции точки пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника лежат на одной окружности.

   Решение

На окружности расположено множество F точек, состоящее из 100 дуг. При любом повороте R окружности множество R(F) имеет хотя бы одну общую точку с множеством F. (Другими словами, для любого угла α от 0° до 180° в множестве F можно указать две точки, отстоящие одна от другой на угол α.) Какую наименьшую сумму длин могут иметь 100 дуг, образующих множество F? Каков будет ответ, если дуг не 100, а n?

   Решение

Темы:    [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

На окружности расположено множество F точек, состоящее из 100 дуг. При любом повороте R окружности множество R(F) имеет хотя бы одну общую точку с множеством F. (Другими словами, для любого угла α от 0° до 180° в множестве F можно указать две точки, отстоящие одна от другой на угол α.) Какую наименьшую сумму длин могут иметь 100 дуг, образующих множество F? Каков будет ответ, если дуг не 100, а n?

Решение

Решим задачу для n дуг. Обозначим сумму длин n дуг, образующих множество F через S (Поскольку нас интересует только относительная длина дуг, мы будем измерять ее в градусах.) .

S может быть сколь угодно близко к . Достаточно привести пример: располагаем (n-1) дугу, длина каждой из которых равна так, чтобы центры любых двух соседних отстояли на , а за (n-1) -й помещаем n -ю дугу с длиной так, чтобы расстояние между их ближайшими концами равнялось .

Легко проверяется, что указанная система дуг удовлетворяет условию задачи. При соответствующем выборе a₀ сумма длин дуг будет как угодно близка к .

Если же точку на окружности считать дугой нулевой длины, то, заменив в примере все дуги, кроме последней, на точки, получаем множество F с суммой длин дуг, равной (рис.1).

Докажем, что сумма S длин дуг не может быть меньше этого числа. Представим себе, что мы имеем два экземпляра нашей окружности, на которых размещены те же самые n дуг. Повернем одну из окружностей на угол ϕ , 0< ϕ<360^o . Рассмотрим множество U_ij всех таких значений ϕ , для которых при таком повороте i -я дуга повернутой окружности пересекается с j -й дугой неподвижной окружности. Нарисуем отдельно "контрольную" окружность (с выбранной на ней начальной точкой ϕ=0 (рис.2)) и отметим на ней множества U_ij для всех i, j от 1 до n . Ясно, что U_ij является дугой с длиной, равной сумме длин i -й и j -й дуг.

Отмеченные множества U_ij должны заполнять всю "контрольную" окружность, так как при любом повороте какие-то две дуги нашего множества должны пересекаться, поэтому сумма длин всех U_ij не меньше 360^o . С другой стороны, эта сумма равна 2n · S , так как каждая дуга множества входит в сумму 2n раз.

Отсюда получаем, что S = . Нетрудно заметить, что неравенство должно быть строгим (если отдельные точки не считать дугами), так как любые две области U_ii и U_jj имеют общий участок, содержащий начало отсчета.

Источники и прецеденты использования