Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Можно ли раскрасить все натуральные числа, большие 1, в три цвета (каждое число – в один цвет, все три цвета должны использоваться) так, чтобы цвет произведения любых двух чисел разного цвета отличался от цвета каждого из сомножителей?
Можно ли расставить в клетках таблицы $6\times 6$ числа, среди которых нет одинаковых, так, чтобы в каждом прямоугольнике $1\times 5$ (как вертикальном, так и горизонтальном) сумма чисел была равна 2022 или 2023?
Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)
Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка K так, что середина стороны AD равноудалена от точек K и C, а середина стороны CD равноудалена от точек K и A. Точка N – середина отрезка BK. Докажите, что углы NAK и NCK равны.
Про грибы.В корзине лежат 30 грибов. Среди любых 12 из них имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?
У двух трапеций соответственно равны углы и диагонали. Верно ли, что такие трапеции равны?
На поверхности куба найти точки, из которых диагональ видна под наименьшим углом. Доказать, что из остальных точек поверхности куба диагональ видна под большим углом, чем из найденных.
Фокусник выкладывает в ряд колоду из 52 карт и объявляет, что 51 из них будут выкинуты со стола, а останется тройка треф. Зритель на каждом шаге говорит, какую по счёту с края карту надо выкинуть, а фокусник выбирает, с левого или с правого края считать, и выкидывает соответствующую карту. При каких начальных положениях тройки треф можно гарантировать успех фокуса?
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) биссектриса BD в два раза короче биссектрисы AE. Найдите углы треугольника ABC.
Решить систему уравнений:
3xyz – x³ – y³ – z³ = b³,
x + y + z = 2b,
x² + y² + z² = b².
|
|
 |
Условие
Решить систему уравнений:
3xyz – x³ – y³ – z³ = b³,
x + y + z = 2b,
x² + y² + z² = b².
Решение
b³ = 3xyz – x³ – y³ – z³ = (x + y + z)(xy + yz + xz – x² – y² – z²) = 2b(xy + yz + xz – x² – y² – z²) (см. задачу 61005 г). Но выражение в скобках неположительно и обращается в ноль только при x = y = z. Поэтому уравнение имеет решение только при b = 0. В этом случае последние два уравнения запишутся в виде z = – x – y и z² = x² + y². Возведя первое из них в квадрат, получим xy = 0. Значит, x = 0, z = – y или y = 0, z = – x.
Ответ
При b = 0 (0, t, –t), (t, 0, –t); при b ≠ 0 решений нет.
Замечания
При b ≠ 0 система имеет комплексные решения. Из полученного соотношения следует, что 2(x² + y² + z² – (xy + yz + xz)) = – b². Но
x² + y² + z² + 2(xy + yz + xz) = 4b². Отсюда x² + y² + z² = b², 2(xy + yz + xz) = – 3b². Из третьего уравнения получаем z = 0, откуда
x² + y² = b², 2xy = – 3b². Теперь два комплексных решения легко находятся.
