Докажите, что  ABC > 90^o тогда и только тогда, когда точка B лежит внутри окружности с диаметром AC.

   Решение

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку A первой окружности проведены прямые AP и AQ, пересекающие вторую окружность в точках B и C. Докажите, что касательная в точке A к первой окружности параллельна прямой BC.

   Решение

Из общей точки проведены к окружности две касательные. Радиус окружности равен 11, а сумма касательных равна 120.
Найдите расстояние от центра до общей точки касательных.

   Решение

Пусть связный плоский граф с V вершинами и E рёбрами разрезает плоскость на F кусков. Докажите формулу Эйлера:  V – E + F = 2.

   Решение

C — точка на продолжении диаметра AB, CD — касательная, угол ADC равен 110^o. Найдите угловую величину дуги BD.

   Решение

Какие остатки могут получиться при делении  n³ + 3  на  n + 1  при натуральном  n > 2?

   Решение

Чему равна площадь треугольника со сторонами 18, 17, 35?

   Решение

Существует ли целое число, произведение цифр которого равно  а) 1980?  б) 1990?  в) 2000?

   Решение

Окружность касается одной из сторон угла в его вершине A и пересекает другую сторону в точке B. Угол равен 40°, M – точка на меньшей дуге AB.
Найдите угол AMB.

   Решение

Докажите, что из точки A, лежащей вне окружности, можно провести ровно две касательные к окружности, причем длины этих касательных (т. е. расстояния от A до точек касания) равны.

   Решение

Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна $\frac12 d_1 d_2\sin\varphi$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\varphi$ — угол между ними.

   Решение

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB, BC и AC в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно. Известно, что  AC₁ = BA₁ = CB₁.  Докажите, что треугольник ABC правильный.

   Решение

а) Используя геометрические соображения, докажите, что основание и боковая сторона равнобедренного треугольника с углом 36^o при вершине несоизмеримы.
б) Придумайте геометрическое доказательство иррациональности .

   Решение

Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3:5, проведена касательная. Найдите острый угол между хордой и касательной.

   Решение

Три окружности попарно касаются друг друга. Через три точки касания проводим окружность. Доказать, что эта окружность перпендикулярна к каждой из трёх исходных. (Углом между двумя окружностями в точке их пересечения называется угол, образованный их касательными в этой точке.)

   Решение

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 2+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Три окружности попарно касаются друг друга. Через три точки касания проводим окружность. Доказать, что эта окружность перпендикулярна к каждой из трёх исходных. (Углом между двумя окружностями в точке их пересечения называется угол, образованный их касательными в этой точке.)

Решение

Пусть A, B, C — точки касания, A₁, B₁ и C₁ — центры данных окружностей, причём точки A, B и C лежат на отрезках B₁C₁, C₁A₁ и A₁B₁ соответственно. Тогда A₁B = A₁C, B₁A = B₁C и C₁A = C₁B. Из этого следует, что A, B и C — точки касания вписанной окружности треугольника A₁B₁C₁ с его сторонами. Действительно, пусть A₁B = A₁C = x, B₁A = B₁C = y и C₁A = C₁B = z. Тогда, например, x = и для точек касания вписанной окружности треугольника A₁B₁C₁ со сторонами A₁B₁ и A₁C₁ такое соотношение тоже выполняется. В результате получаем, что радиусы A₁B, B₁C и C₁A данных окружностей касаются описанной окружности треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования