Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше m² + 1 точек с целыми координатами.
Докажите, что в нём найдутся m + 1 точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.
Обозначим через S(m) сумму цифр натурального числа m. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных n, что S(3n) ≥ S(3n+1).
Можно ли доску размером 5×5 заполнить доминошками размером 1×2?
Ma, Mb, Mc – середины сторон, Ha, Hb, Hc – основания высот треугольника ABC площади S.
Доказать, что из отрезков MaHb, MbHc, McHa можно составить треугольник, найти его площадь.
Имеются два набора из чисел 1 и –1, в каждом по 1958 чисел. Доказать, что за некоторое число шагов можно превратить первый набор во второй, если на каждом шагу разрешается одновременно изменить знак у любых 11 чисел первого набора. (Два набора считаются одинаковыми, если у них на одинаковых местах стоят одинаковые числа.)
На окружности расставлено n цифр, отличных от 0. Сеня и Женя переписали себе в тетрадки n – 1 цифру, читая их по часовой стрелке. Оказалось, что хотя они начали с разных мест, записанные ими (n–1)-значные числа совпали. Докажите, что окружность можно разрезать на несколько дуг так, чтобы записанные на дугах цифры образовывали одинаковые числа.
Найти все прямые в пространстве, проходящие через данную точку M на данном расстоянии d от данной прямой AB.
Точка G — центр шара, вписанного в правильный тетраэдр ABCD. Прямая OG, соединяющая G с точкой O, лежащей внутри тетраэдра, пересекает плоскости граней в точках A', B', C', D'. Доказать, что
Внутри выпуклого пятиугольника выбраны две точки. Докажите, что можно выбрать четырёхугольник с вершинами в вершинах пятиугольника так, что внутрь него попадут обе выбранные точки.
Чётными или нечётными будут сумма и произведение:
а) двух чётных чисел?
б) двух нечётных чисел?
в) чётного и нечётного чисел?
Найти все действительные решения системы
Правильный треугольник, одна сторона которого отмечена, отражается симметрично относительно одной из своих сторон. Полученный треугольник в свою очередь отражается и т.д., пока на некотором шаге треугольник не придёт в первоначальное положение. Доказать, что при этом отмеченная сторона также займёт исходное положение.
|
|
 |
Условие
Правильный треугольник, одна сторона которого отмечена, отражается симметрично
относительно одной из своих сторон. Полученный треугольник в свою очередь
отражается и т.д., пока на некотором шаге треугольник не придёт в первоначальное
положение. Доказать, что при этом отмеченная сторона также займёт исходное
положение.
Решение
Рассмотрим замощение плоскости правильными треугольниками, такое что один из треугольников замощения – данный нам вначале правильный треугольник. Нетрудно раскрасить стороны всех треугольников замощения в три цвета так, чтобы стороны каждого треугольника были раскрашены в разные цвета и раскраска была симметрична относительно любой стороны любого треугольника замощения (при этом объединение одноцветных сторон образует замощение плоскости правильными шестиугольниками). Тогда при отражении любого треугольника замощения относительно любой из его сторон цвета сторон сохраняются. Поэтому цвета сторон сохраняются и после любой последовательности таких отражений. В частности, если наш треугольник вернулся в исходное положение, то отмеченная сторона должна совпасть со стороной своего цвета, то есть занять исходное положение.
