Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
На поляне пасутся 150 коз. Поляна разделена изгородями на несколько участков. Ровно в полдень некоторые козы перепрыгнули на другие участки. Пастух подсчитал, что на каждом участке количество коз изменилось, причём ровно в семь раз. Не ошибся ли он?
Дан треугольник АВС. Точка О1 – центр прямоугольника ВСDE, построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О2 и О3 являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО1, ВО2 и СО3 пересекаются в одной точке.
Дана система из 25 различных отрезков с общим началом в данной точке A и с концами на прямой l, не проходящей через эту точку. Доказать, что не существует замкнутой 25-звенной ломаной, для каждого звена которой нашёлся бы отрезок системы, равный и параллельный этому звену.
Доказать, что при нечётном n > 1 уравнение xn + yn = zn не может иметь решений в целых числах, для которых x + y – простое число.
Учительница математики предложила изменить схему голосования на конкурсе спектаклей (см. задачу 65299). По её мнению, нужно из всех 2n мам выбрать случайным образом жюри из 2m человек (2m ≤ n). Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит при таких условиях голосования.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD ∠ABC = 90°,
∠BAC = ∠CAD, AC = AD, DH – высота
треугольника ACD.
В каком отношении прямая BH делит отрезок CD?
Доказать, что если уравнения с целыми коэффициентами x² + p1x + q1, x² + p2x + q2 имеют общий нецелый корень, то p1 = p2 и q1 = q2.
Окружность Ω описана около треугольника ABC. На продолжении стороны AB за точку B взяли такую точку B1, что AB1 = AC. Биссектриса угла A пересекает Ω вторично в точке W. Докажите, что ортоцентр треугольника AWB1 лежит на Ω.
Приведите пример вписанного четырехугольника
с попарно различными целочисленными длинами сторон,
у которого длины диагоналей, площадь и радиус описанной
окружности — целые числа (Брахмагупта).
Все стороны и диагонали правильного 12-угольника раскрашиваются в 12 цветов (каждый отрезок – одним цветом).
Существует ли такая раскраска, что для любых трёх цветов найдутся три вершины, попарно соединенные между собой отрезками этих цветов?
Пусть ka ≡ kb (mod m), k и m взаимно просты. Тогда a ≡ b (mod m).
В правильном десятиугольнике провели все диагонали. Сколько попарно неподобных треугольников имеется на этом рисунке?
|
|
 |
Условие
В правильном десятиугольнике провели все диагонали. Сколько попарно неподобных треугольников имеется на этом рисунке?
Решение
Зафиксируем одну из сторон. Нетрудно понять, что все диагонали и стороны десятиугольника образуют с ней углы, кратные 18°. Поэтому углы всех образованных треугольников кратны 18°. Следовательно, искомое количество треугольников не больше количества способов представить число 10 в виде суммы трех натуральных чисел с точностью до порядка слагаемых. Всего таких способов 8: 1 + 1 + 8, 1 + 2 + 7, 1 + 3 + 6, 1 + 4 + 5, 2 + 2 + 6, 2 + 3 + 5,
2 + 4 + 4, 3 + 3 + 4.
Каждый такой способ легко реализовать, разбив стороны десятиугольника на три соответствующие группы и соединив разделяющие эти группы вершины.
Ответ
8 треугольников.
