Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $K$, $L$, $M$, $N$ – середины сторон $BC$, $CD$, $DA$, $AB$ соответственно. Отрезки $AK$, $BL$, $CM$, $DN$, пересекаясь, делят друг друга на три части. Оказалось, что отношение длины средней части к длине всего отрезка одно и то же для всех четырех отрезков. Верно ли, что $ABCD$ – параллелограмм?
В равные углы X1OY и YOX2 вписаны окружности ω1 и ω2, касающиеся сторон OX1 и OX2 в точках A1 и A2 соответственно, а стороны OY – в точках B1 и B2. C1 – вторая точка пересечения A1B2 и ω1, а C2 – вторая точка пересечения A2B1 и ω2. Докажите, что C1C2 – общая касательная к окружностям.
Сторона основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды
SABCD равна a, боковое ребро равно b. Найдите площадь сечения
пирамиды плоскостью, проходящей через прямую BD параллельно прямой
AS.
В пространстве (но не в одной плоскости) расположены шесть различных точек: A, B, C, D, E и F. Известно, что отрезки AB и DE, BC и EF, CD и FA попарно параллельны. Докажите, что эти же отрезки и попарно равны.
Верны ли утверждения:
а) Если многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
б) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два равных
многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
в) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга движением, сохраняющим ориентацию (то есть поворотом или параллельным переносом), то его можно разбить отрезком на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга таким же движением.
Рассмотрим множество последовательностей длины
n, состоящих из 0 и 1, в которых не бывает двух 1 стоящих
рядом. Докажите, что количество таких последовательностей равно
Fn + 2. Найдите взаимно-однозначное соответствие между такими
последовательностями и маршрутами кузнечика из задачи 3.109.
Имеется m белых и n чёрных шаров, причём m > n.
Сколькими способами можно все шары разложить в ряд так, чтобы никакие два чёрных шара не лежали рядом?
Докажите, что множество простых чисел вида p = 4k + 3 бесконечно.
Прямоугольник разрезан на прямоугольники, длина одной из сторон
каждого из которых — целое число. Докажите, что длина одной из
сторон исходного прямоугольника — целое число.
Дан треугольник ABC, в котором сторона AB больше BC. Проведены биссектрисы AK и CM (K лежит на BC, M лежит на AB). Доказать, что отрезок AM больше MK, а отрезок MK больше KC.
|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC, в котором сторона AB больше BC. Проведены
биссектрисы AK и CM (K лежит на BC, M лежит на AB). Доказать, что
отрезок AM больше MK, а отрезок MK больше KC.
Решение
По свойству биссектрисы BM : MA = BC : CA и BK : KC = BA : AC. Поэтому BM : MA < BK : KC, т. е.
