Одна из диагоналей вписанного в окружность четырёхугольника является диаметром.
Докажите, что проекции противоположных сторон на другую диагональ равны.

   Решение

В треугольнике ABC угол A прямой, катет AB равен a, радиус вписанной окружности равен r . Вписанная окружность касается катета AC в точке D.
Найдите хорду, соединяющую точки пересечения окружности с прямой BD.

   Решение

На хорде AB окружности K с центром в точке O взята точка C. D — вторая точка пересечения окружности K с окружностью, описанной около ACO. Доказать, что CD = CB.

   Решение

В треугольнике DEF проведена медиана DK. Найдите углы треугольника, если  ∠KDE = 70°,  ∠DKF = 140°.

   Решение

Один раз рыбак забросил в пруд сеть и вытащил 30 рыб. Пометив каждую рыбу меткой, он выпустил улов обратно в пруд. На следующий день рыбак снова забросил сеть и вытащил 40 рыб, среди которых были две помеченные. Как по этим данным приблизительно вычислить число рыб в пруду?

   Решение

Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на части, площади которых относятся как  2 : 1,  считая от вершины. В каком отношении она делит боковые стороны?

   Решение

С числом 123456789101112...9989991000 производится следующая операция: зачёркиваются две соседние цифры a и b (a стоит перед b) и на их место вставляется число a + 2b (можно в качестве a взять нуль, ``стоящий'' перед числом, а в качестве b — первую цифру числа). С полученным числом производится такая же операция и т.д. (Например, из числа 118 307 можно на первом шаге получить числа 218 307, 38 307, 117 307, 111 407, 11 837, 118 314.) Доказать, что таким способом можно получить число 1.

   Решение

В треугольнике ABC проведены медианы AM и BP. Известно, что  ∠APB = ∠BMA,  cos∠ACB = 0,8,  BP = 1.  Найдите площадь треугольника ABC .

   Решение

Сеня не умеет писать некоторые буквы и всегда в них ошибается. В слове ТЕТРАЭДР он сделал бы пять ошибок, в слове ДОДЕКАЭДР – шесть, а в слове ИКОСАЭДР – семь. А сколько ошибок он сделает в слове ОКТАЭДР?

   Решение

Докажите, что через данную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данной прямой.

   Решение

Темы:    [ Перпендикулярность прямой и плоскости ] [ Признаки перпендикулярности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что через данную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данной прямой.

Решение

Пусть данная точка M не лежит на данной прямой h . Проведём через них плоскость α (рис.1). Пусть прямая плоскости α , проходящая через точку M перпендикулярно прямой h , пересекает прямую h в точке A . Через произвольную точку, не лежащую в плоскости α , и прямую h проведём плоскость β . В плоскости β проведём прямую AN , перпендикулярную прямой h . Через пересекающиеся прямые AM и AN проведём плоскость γ . Поскольку прямая h перпендикулярна двум пересекающимся прямым AM и AN плоскости γ , прямая h перпендикулярна плоскости γ . Докажем единственность. Предположим, что существует плоскость γ 1 , проходящая через точку M перпендикулярно прямой h и отличная от плоскости γ . Поскольку плоскости γ и γ 1 имеют общую точку M , они пересекаются по прямой l , проходящей через эту точку. Если прямая l не пересекается с прямой h (рис.2), то плоскости γ и γ 1 пересекают прямую h в двух различных точках B и C . Тогда в плоскости пересекающихся прямых MB и MC из точки M опущены два перпендикуляра MB и MC на прямую h . Что невозможно. Если прямая l пересекает прямую h в точке D (рис.3), то через прямую h и произвольную точку K , не лежащую на прямых l и h , проведём плоскость ϕ . Эта плоскость пересекает плоскости γ и γ 1 по различным прямым, пересекающимся в точке D , а т.к. прямая h перпендикулярна плоскостям γ и γ 1 , то она перпендикулярна обеим этим прямым. Таким образом, в плоскости ϕ через точку D проходят две различные прямые, перпендикулярные прямой h . Что также невозможно. Пусть теперь точка M лежит на прямой h . В произвольной плоскости, проходящей через прямую h , проведём перпендикуляр MM1 к прямой h . Затем через точку M1 , не лежащую на прямой h , указанным выше способом проведём плоскость, перпендикулярную прямой h . Далее все аналогично рассмотренному случаю.

Источники и прецеденты использования