Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдите геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных прямых имеет данную величину.

   Решение

---

Углы треугольника равны α, β и γ, а периметр равен P. Найдите стороны треугольника.

   Решение

---

Длины сторон параллелограмма равны a и b, длины диагоналей — m и n. Докажите, что  a⁴ + b⁴ = m²n² тогда и только тогда, когда острый угол параллелограмма равен  45^o.

   Решение

---

В треугольнике ABC угол B равен 60^o, биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что OD = OE.

   Решение

---

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и точке, в которой её касается вписанная окружность.

   Решение

---

Докажите, что предельная точка пучка является общей точкой окружностей ортогонального пучка, и наоборот.

   Решение

---

Основание наклонной призмы – равносторонний треугольник со стороной a . Одно из боковых рёбер равно b и образует с прилежащими сторонами основания углы 45^o . Найдите боковую поверхность призмы.

   Решение

---

Дан не равносторонний треугольник ABC. Точки A₁, B₁ и C₁ выбраны так, что треугольники BA₁C, CB₁A и AC₁B собственно подобны. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ равносторонний тогда и только тогда, когда указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом 120^o при вершинах A₁, B₁ и C₁.

   Решение

---

Найдите углы и стороны четырёхугольника с вершинами в серединах сторон равнобедренной трапеции, диагонали которой равны 10 и пересекаются под углом 40^o.

   Решение

---

На сторонах AB и CB треугольника ABC откладываются равные отрезки произвольной длины AD и CE. Найти геометрическое место середин отрезков DE.

   Решение

---

Концы отрезка AB принадлежат граням двугранного угла, равного ϕ . Расстояния AA1 и BB1 от точек A и B до ребра двугранного угла равны a и b соответственно, A1B1 = c . Найдите AB .

   Решение

Темы:    [ Двугранный угол ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Концы отрезка AB принадлежат граням двугранного угла, равного ϕ . Расстояния AA1 и BB1 от точек A и B до ребра двугранного угла равны a и b соответственно, A1B1 = c . Найдите AB .

Решение

Прямая A1B1 – ребро двугранного угла с гранями α и β . Из точки B , лежащей в грани β , опустим перпендикуляр BB2 на грань α . Тогда B1B2 – ортогональная проекция наклонной BB1 на плоскость α . По теореме о трёх перпендикулярах B1B2 A1B1 , поэтому BB1B2 – линейный угол данного двугранного угла. По условию задачи BB1B2 = ϕ . Из прямоугольного треугольника BB1B2 находим, что

BB2 = BB1 sin ϕ = b sin ϕ, B1B2 = BB1 cos ϕ = b cos ϕ.
Опустим перпендикуляр AF из точки A грани α на прямую B1B2 . По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников AFB2 и ABB2 находим, что
AB22 = AF2 + B2F2 = A1B21 + (B1B2 - B1F)2 =

= A1B21 + (B1B2 - AA1)2 = c2 + (b cos ϕ - a)2,

AB2 = AB22 + BB22 = c2 + (b cos ϕ - a)2 + b2 sin 2ϕ =

= a2 + b2( sin 2ϕ + cos 2ϕ) + c2 + 2ab cos ϕ = a2 + b2 + c2 + 2ab cos ϕ .
Следовательно, AB = .

Обозначим = , = , = . Тогда
= - + + , 2 = (- )2 + 2 + 2 - 2 · - 2 · + 2 · .
Так как отрезки A1A и B1B перпендикулярны отрезку A1B1 , то
· = 0, · = 0, 2 = a2 + b2 + c2 - 2 · .
Векторы и сонаправлены сторонам линейного угла данного двугранного угла, поэтому (, ) = ϕ . Значит, · = ab cos ϕ . Следовательно,
AB = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования