Версия для печати
Убрать все задачи

---

Верно ли, что высоты любого тетраэдра пересекаются в одной точке?

   Решение

---

Внутри угла расположены две окружности с центрами A, B, которые касаются друг друга и сторон угла. Докажите, что окружность с диаметром AB касается сторон угла.

   Решение

---

Дан трёхгранный угол. Рассмотрим три плоскости, содержащие его грани. Эти плоскости разбивают пространство на восемь трёхгранных углов. а) Найдите плоские углы всех образовавшихся трёхгранных углов, если плоские углы исходного трёхгранного угла равны x , y и z . б) Найдите двугранные углы всех образовавшихся трёхгранных углов, если двугранные углы исходного трёхгранного угла равны α , β и γ .

   Решение

---

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами. На стороне AD выбирается произвольная точка P, отличная от A и D. Описанные окружности треугольников ABP и CDP вторично пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки P.

   Решение

---

Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.

   Решение

---

Пусть $f(x)=x^2+3x+2$. Вычислите $$\Bigl(1-\frac{2}{f(1)}\Bigr)\Bigl(1-\frac2{f(2)}\Bigr)\Bigl(1-\frac2{f(3)}\Bigr)\ldots\Bigl(1-\frac2{f(2019)}\Bigr).$$

   Решение

---

В треугольнике ABC даны три стороны:  AB = 26,  BC = 30  и  AC = 28.  Найдите часть площади этого треугольника, заключённую между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины B.

   Решение

---

В круге проведены два перпендикулярных диаметра, т. е. четыре радиуса, а затем построены четыре круга, диаметрами которых служат эти радиусы. Докажите, что суммарная площадь попарно общих частей этих кругов равна площади части исходного круга, лежащей вне рассматриваемых четырех кругов (рис.).

   Решение

---

В парке росли липы и клены. Кленов среди них было 60%. Весной в парке посадили липы, после чего кленов стало 20%. А осенью посадили клены, и кленов стало снова 60%. Во сколько раз увеличилось количество деревьев в парке за год?

   Решение

---

В пирамиде ABCD двугранные углы с рёбрами AB , BC и CA равны α1 , α2 и α3 соответственно, а площади треугольников ABD , BCD и CAD равны соответственно S1 , S2 и S3 . Площадь треугольника ABC равна S . Докажите, что S = S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3 (некоторые из углов α1 , α2 и α3 могут быть тупыми).

   Решение

Темы:    [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В пирамиде ABCD двугранные углы с рёбрами AB , BC и CA равны α1 , α2 и α3 соответственно, а площади треугольников ABD , BCD и CAD равны соответственно S1 , S2 и S3 . Площадь треугольника ABC равна S . Докажите, что S = S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3 (некоторые из углов α1 , α2 и α3 могут быть тупыми).

Решение

Пусть O – основание высоты DO пирамиды ABCD . Тогда треугольники AOB , AOC и BOC – ортогональные проекции треугольников соответственно ADB , ADC и BDC на плоскость ABC . Если основание O высоты DO лежит внутри треугольника ABC (рис.1), то углы α1 , α2 и α3 – острые, поэтому

S_{Δ AOB} = S_{Δ ADB} cos α1 = S1 cos α1,

S_{Δ AOC} = S_{Δ ADC} cos α2 = S2 cos α2,

S_{Δ BOC} = S_{Δ BDC} cos α3 = S3 cos α3.
Следовательно,
S = S_{Δ AOB} + S_{Δ AOC} + S_{Δ BOC} = S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3.
Если основание O высоты DO лежит вне треугольника ABC (рис.2), то два из углов α1 , α2 и α3 – тупые. Тогда, например, в случае, когда α2 > 90^o и α3 > 90^o , получим, что
S = S_{Δ AOB} - S_{Δ AOC} - S_{Δ BOC} =

= S1 cos α1 - S2 cos (180^o - α2) - S3 cos (180^o - α3) =

= S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3.
Аналогично для остальных случаев.

Источники и прецеденты использования