Правильный многоугольник  A₁...A_n вписан в окружность радиуса R с центром O, X — произвольная точка.
Докажите, что   A₁X² + ... + A_nX² = n(R² + d²),  где  d = OX.

   Решение

Основания трапеции равны 8 и 2. Углы, прилежащие к большему основанию, равны по 45^o. Найдите объем тела, образованного вращением трапеции вокруг большего основания.

   Решение

Проанализируйте при помощи ним-сумм игру ``Йога'' из задачи 4.21.

   Решение

Найдите остаток от деления 3¹⁹⁸⁹ на 7.

   Решение

Биссектрисы AA₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. Описанные окружности треугольников AIC₁ и CIA₁ повторно пересекают дуги AC и BC (не содержащие точек B и A соответственно) описанной окружности треугольника ABC в точках C₂ и A₂ соответственно. Докажите, что прямые A₁A₂ и C₁C₂ пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Докажите, что при любых k и l многочлен g_k,l(x) является возвратным, то есть  
(Определение многочленов Гаусса см. здесь.)

   Решение

В каждой вершине выпуклого k-угольника находится охотник, вооруженный лазерным ружьем. Все охотники одновременно выстрелили в зайца, сидящего в точке O внутри этого k-угольника. В момент выстрела заяц пригибается, и все охотники погибают. Доказать, что нет другой точки, кроме O, обладающей указанным свойством.

   Решение

Решить уравнение  x⁸ + 4x⁴ + x² + 1 = 0.

   Решение

Из бумаги склеено цилиндрическое кольцо, ширина которого равна 1, а длина по окружности равна 4. Можно ли не разрывая сложить это кольцо так, чтобы получился квадрат площади 2?

   Решение

Дано изображение (параллельная проекция на некоторую плоскость) треугольника и центра описанной около него окружности. Постройте изображение точки пересечения высот этого треугольника.

   Решение

Темы:    [ Построения на проекционном чертеже ] [ Параллельное проектирование (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Дано изображение (параллельная проекция на некоторую плоскость) треугольника и центра описанной около него окружности. Постройте изображение точки пересечения высот этого треугольника.

Решение

При параллельном проектировании сохраняется отношение отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых. Поэтому изображениями середин M и N сторон AB и AC треугольника ABC являются середины M1 и N1 сторон A1B1 и A1C1 треугольника A1B1C1 – изображения треугольника ABC . Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC . Тогда CH || OM и BH || ON , где O – центр описанной окружности треугольника ABC . При параллельном проектирование сохраняется параллельность прямых. Поэтому C1H1 || O1M1 и B1H1 || O1N1 , где O1 – изображение точки O . Отсюда выстекает следующее построение. Строим середины M1 и N1 данных сторон A1B1 и A1C1 . Через точки C1 и B1 проводим прямые, параллельные O1M1 и O1N1 соответственно. Точка H1 пересечения построенных прямых есть искомое изображение точки пересечения высот треугольника ABC .

Источники и прецеденты использования