Сумма положительных чисел a, b, c и d равна 3. Докажите неравенство   ¹/_a³ + ¹/_b³ + ¹/_c³ + ¹/_d³ ≤ ¹/_a³b³c³d³.

   Решение

Решите уравнение  

   Решение

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Середины сторон AB и CD обозначим соответственно через K и M, точку пересечения AM и DK — через O, точку пересечения BM и CK — через P. Доказать, что площадь четырёхугольника MOKP равна сумме площадей треугольников BPC и AOD.

   Решение

Боковое ребро правильной треугольной призмы равно высоте основания, а площадь сечения, проведённого через это боковое ребро и высоту основания, равна Q . Найдите объём призмы.

   Решение

Выразите через a и b действительный корень уравнения  x³ – a³ – b³ – 3abx = 0.
Найдите представления для двух комплексных корней этого уравнения.

   Решение

а) Докажите, что для любого параллелограмма существует эллипс, касающийся сторон параллелограмма в их серединах.
б) Докажите, что для любого треугольника существует эллипс, касающийся сторон треугольника в их серединах.

   Решение

Точка A лежит внутри правильного десятиугольника X₁...X₁₀, а точка B — вне его. Пусть  a = + ... +   и  b = + ... + .
Может ли оказаться, что  |a| > |b| ?

   Решение

Пусть  n > 2.  Докажите, что между n и n! есть по крайней мере одно простое число.

   Решение

В четырёхугольнике ABCD сторона AB равна диагонали AC и перпендикулярна стороне AD, а диагональ AC перпендикулярна стороне CD. На стороне AD взята такая точка K , что  AC = AK.  Биссектриса угла ADC пересекает BK в точке M. Найдите угол ACM.

   Решение

A – вершина правильного звёздчатого пятиугольника. Ломаная AA'BB'CC'DD'EE' является его внешним контуром. Прямые AB и DE продолжены до пересечения в точке F. Докажите, что многоугольник ABB'CC'DED' равновелик четырёхугольнику AD'EF.

   Решение

Число сторон многоугольника A₁...A_n нечётно. Докажите, что:
  а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он правильный;
  б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.

   Решение

На плоскости даны изображение (параллельная проекция) плоского четырёхугольника ABCD и точки M , не лежащей в его плоскости. Постройте изображение прямой, по которой пересекаются плоскости ABM и CDM .

   Решение

Темы:    [ Построения на проекционном чертеже ] [ Параллельное проектирование (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны изображение (параллельная проекция) плоского четырёхугольника ABCD и точки M , не лежащей в его плоскости. Постройте изображение прямой, по которой пересекаются плоскости ABM и CDM .

Решение

Пусть A1 , B1 , C1 , D1 – изображения вершин соответственно A , B , C , D четырёхугольника ABCD , M1 – изображение точки M . Если прямые AB и CD параллельны (рис.1), то по теореме о пересекающихся плоскостях, проходящих через две параллельные прямые, прямая пересечения плоскостей ABM и CDM параллельна каждой из прямых AB и CD . При параллельном проектировании сохраняется параллельность прямых. Значит, изображение прямой пересечения плоскостей ABM и CDM есть прямая, проходящая через точку M1 параллельно A1B1 и C1D1 . Если прямые AB и CD пересекаются в точке E , изображение E1 точки E есть точка пересечения прямых A1B1 и C1D1 (рис.2). В этом случае изображением прямой пересечения плоскостей ABM и CDM является прямая M1E1 .

Источники и прецеденты использования