Можно ли, применяя к числу 2 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в любом количестве и в любом порядке, получить число 2010?

   Решение

Пусть  P(x) = (2x² – 2x + 1)¹⁷(3x² – 3x + 1)¹⁷.  Найдите
  a) сумму коэффициентов этого многочлена;
  б) суммы коэффициентов при чётных и нечётных степенях x.

   Решение

На плоскости проведено несколько прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что в областях, на которые прямые поделили плоскость, можно расставить положительные числа так, чтобы суммы чисел по обе стороны каждой из проведённых прямых были равны.

   Решение

Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на два непересекающихся подмножества так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одного и того же подмножества содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана одна его вершина и три прямых, на которых лежат его биссектрисы.

   Решение

Можно ли найти восемь таких натуральных чисел, что ни одно из них не делится ни на какое другое, но квадрат любого из этих чисел делится на каждое из остальных?

   Решение

По кругу расставлено девять чисел – четыре единицы и пять нулей. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают.
Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми?

   Решение

Число N, не делящееся на 81, представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, делящихся на 3.
Докажите, что оно также представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, не делящихся на 3.

   Решение

Докажите, что можно на каждом ребре произвольного тетраэдра записать по неотрицательному числу так, чтобы сумма чисел на сторонах каждой грани численно равнялась её площади.

   Решение

В каждой клетке секретной таблицы n×n записана одна из цифр от 1 до 9. Из них получаются n-значные числа, записанные в строках слева направо и в столбцах сверху вниз. Петя хочет написать такое n-значное число без нулей в записи, чтобы ни это число, ни оно же, записанное задом наперед, не совпадало ни с одним из 2n чисел в строках и столбцах таблицы. В каком наименьшем количестве клеток Петя должен для этого узнать цифры?

   Решение

Отличник Поликарп составил огромное число, выписав натуральные числа от 1 до 500: 123…1011…499500. Двоечник Колька стер у этого числа первые 500 цифр. Как Вы думаете, с какой цифры начинается оставшееся число?

   Решение

Восстановите пример на умножение

   Решение

а) Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размерами 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку 2×2. Вместо неё удалось достать плитку 1×4. Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.
б) Останется ли верным утверждение задачи, если вместо плиток 1×4 и 2×2 рассматривать плитки из трёх квадратиков: прямоугольные 1×3 и "уголки").

   Решение

Имеются чашечные весы без гирь и 3 одинаковые по внешнему виду монеты. Одна из монет фальшивая, причём неизвестно, легче она настоящих монет или тяжелее (настоящие монеты одного веса). Сколько надо взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету? Решите ту же задачу в случаях, когда имеется 4 монеты и 9 монет.

   Решение

Тема:    [ Взвешивания ]

Сложность: 2+ Классы: 5,6,7,8

Прислать комментарий

Условие

Имеются чашечные весы без гирь и 3 одинаковые по внешнему виду монеты. Одна из монет фальшивая, причём неизвестно, легче она настоящих монет или тяжелее (настоящие монеты одного веса). Сколько надо взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету? Решите ту же задачу в случаях, когда имеется 4 монеты и 9 монет.

Подсказка

Обратите внимание: требуется определить фальшивую монету, при этом вовсе не требуется указывать, легче она, чем настоящие, или тяжелее.

Решение

Если у нас 3 монеты, достаточно двух взвешиваний. Кладём на каждую чашку весов по одной монете. Если весы не в равновесии, значит, та монета, которая осталась,  — настоящая. Кладём её на весы с любой из остальных и сразу определяем, какая из них фальшивая. Если же весы в равновесии, значит, фальшивая монета та, которая осталась, и вторым взвешиванием можно даже определить, легче она или тяжелее, чем настоящие. Если у нас 4 монеты, опять достаточно двух взвешиваний. Разделим наши монеты на две кучки по 2 монеты и положим одну из кучек на весы  — по монете на каждую чашку. Если весы в равновесии, то обе монеты на них настоящие. Если весы не в равновесии, то обе монеты на столе настоящие. Итак, теперь мы знаем, в какой кучке лежит фальшивая монета. Положим на одну чашку весов монету из кучки, где обе настоящие, на вторую  — монету из кучки, где фальшивая. Если при этом весы будут в равновесии, значит, фальшивая монета осталась на столе, а если не в равновесии, значит, мы положили её на весы (в этом случае мы даже узнаем, легче она или тяжелее). Если у нас монет 9, потребуется три взвешивания. Делим монеты на три кучки по 3 монеты и кладём две из этих троек на две чашки весов. Если весы в равновесии  — в оставшейся кучке находится фальшивая монета, и за два взвешивания (как это показано в случае 1 настоящей задачи) мы определим фальшивую монету. Итак, всего нам понадобится три взвешивания. Пусть теперь весы не будут в равновесии, значит, одна из кучек на весах  — с фальшивой монетой, а в той кучке, которая осталась, только настоящие. Кладём на весы эту кучку и любую из первых двух. Так мы найдём не просто кучку с фальшивой монетой, но и сразу определим, легче эта монета или тяжелее настоящих. Мы проделали два взвешивания, но зато теперь уже только одним взвешиванием (как показано в случае 1 задачи 49) можем определить фальшивую монету. Итак, всего нам понадобится три взвешивания.

Ответ

 2; 2; 3;4.

Источники и прецеденты использования