Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Можно ли целые числа от 1 до 2004 расставить в некотором порядке так, чтобы сумма каждых десяти подряд стоящих чисел делилась на 10?
Докажите, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
Имеется несколько городов, некоторые из них соединены автобусными маршрутами (без остановок в пути). Из каждого города можно проехать в любой другой (возможно, с пересадками). Иванов купил по одному билету на каждый маршрут (то есть может проехать по нему один раз всё равно в какую сторону). Петров купил n билетов на каждый маршрут. Иванов и Петров выехали из города A. Иванов использовал все свои билеты, новых не покупал и оказался в другом городе B. Петров некоторое время ездил по купленным билетам, оказался в городе X и не может из него выехать, не купив новый билет. Докажите, что X – это либо A, либо B
Дан треугольник ABC. Найти такую точку, что если её симметрично отразить от любой стороны треугольника, то она попадает на описанную окружность.
Существует ли многогранник (не обязательно выпуклый), полных список рёбер которого имеет вид: AB, AC, BC, BD, CD, DE, EF, EG, FG, FH, GH, AH (на рисунке приведена схема соединения рёбер)?
Рассеянный Ученый сконструировал прибор, состоящий из датчика и передатчика. Средний срок (математическое ожидание) службы датчика 3 года, средний срок службы передатчика 5 лет. Зная распределения срока службы датчика и передатчика, Рассеянный Ученый вычислил, что средний срок службы всего прибора равен 3 года 8 месяцев. Не ошибся ли Рассеянный Ученый в своих расчетах?
На сторонах треугольника ABC внешним (внутренним) образом построены
правильные треугольники ABC1, AB1C и A1BC. Докажите, что прямые
AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Найдите трилинейные
координаты этой точки.
Даны три неотрицательных числа a, b, c. Про них известно, что
a4 + b4 + c4 ≤ 2(a²b² + b²c² + c²a²).
а) Докажите, что каждое из них не больше суммы двух других.
б) Докажите, что a² + b² + c² ≤ 2(ab + bc + ca).
в) Следует ли из неравенства пункта б) исходное неравенство?
|
|
 |
Условие
Даны три неотрицательных числа a, b, c. Про них известно, что
a4 + b4 + c4 ≤ 2(a²b² + b²c² + c²a²).
а) Докажите, что каждое из них не больше суммы двух других.
б) Докажите, что a² + b² + c² ≤ 2(ab + bc + ca).
в) Следует ли из неравенства пункта б) исходное неравенство?
Решение
а) 0 ≥ a4 + b4 + c4 – 2(a²b² + b²c² + c²a²) = (a² – b² – c²)² – 4b²c² = (a² – b² – c² – 2bc)(a² – b² – c² + 2bc) =
= (a² – (b + c)²)(a² – (b – c)²) = (a – b – c)(a + b + c)(a – b + c)(a + b – c).
Пусть a – наибольшее из чисел. Тогда последние три множителя неотрицательны, значит, a – b – c ≤ 0.
б) (a² + b² + c²)² = a4 + b4 + c4 + 2(a²b² + b²c² + c²a²) ≤ 4(a²b² + b²c² + c²a²) ≤ 4(ab + bc + ca)². Отсюда (a² + b² + c²) ≤ 2(ab + bc + ca).
в) Контрпример: a = 3, b = c = 1.
Ответ
в) Не следует.
Замечания
1. Баллы: 3 + 2 + 2.
2. Ср. с задачей М1094 из Задачника "Кванта".
