Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом $30$ градусов одна биссектриса в два раза короче другой.

   Решение

В таблице 2005×2006 расставлены числа 0, 1, 2 так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке делится на 3.
Какое наибольшее возможное количество единиц может быть в этой таблице?

   Решение

Пусть в прямоугольном треугольнике AB и AC – катеты,  AC > AB.  На AC выбрана точка E, а на BC – точка D так, что  AB = AE = BD.
Докажите, что треугольник ADE прямоугольный тогда и только тогда, когда стороны треугольника ABC относятся как  3 : 4 : 5.

   Решение

В параллелограмме ABCD точка E – середина AD. Точка F – основание перпендикуляра, опущенного из B на прямую CE.
Докажите, что треугольник ABF – равнобедренный.

   Решение

В футбольном турнире в один круг участвовало 28 команд. По окончании турнира оказалось, что более ¾ всех игр закончилось вничью.
Докажите, что какие-то две команды набрали поровну очков.

   Решение

Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?

   Решение

Имеется 25 кусков сыра разного веса. Всегда ли можно один из этих кусков разрезать на две части и разложить сыр в два пакета так, что части разрезанного куска окажутся в разных пакетах, веса пакетов будут одинаковы и число кусков в пакетах также будет одинаково?

   Решение

Числа 1, 2, 3, ..., 25 расставляют в таблицу  5×5  так, чтобы в каждой строке числа были расположены в порядке возрастания.
Какое наибольшее и какое наименьшее значение может иметь сумма чисел в третьем столбце?

   Решение

Докажите, что произведение всех целых чисел от  2¹⁹¹⁷ + 1  до  2¹⁹⁹¹ – 1  включительно не есть квадрат целого числа.

   Решение

Докажите неравенство  

   Решение

Можно ли нарисовать на плоскости четыре красных и четыре чёрных точки так, чтобы для каждой тройки точек одного цвета нашлась такая точка другого цвета, что эти четыре точки являются вершинами параллелограмма?

   Решение

Последовательность натуральных чисел  a₁, a₂, ..., a_n, ...  такова, что для каждого n уравнение  a_n+2x² + a_n+1x + a_n = 0  имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть
  а) равным 10;
  б) бесконечным?

   Решение

Квадрат разрезали на 25 квадратиков, из которых ровно у одного сторона имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных сторона равна 1).
Найдите площадь исходного квадрата.

   Решение

Существует ли такое N и такие  N – 1  бесконечных арифметических прогрессий с разностями  2, 3, 4, ..., N,  что каждое натуральное число принадлежит хотя бы одной из этих прогрессий?

   Решение

Можно ли в таблицу 9×9 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:
  1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
  2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
  3) среди чисел нет равных;
  4) все числа не больше 1991?

   Решение

Куб разрезали на 99 кубиков, из которых ровно у одного ребро имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных ребро равно 1).
Найдите объём исходного куба.

   Решение

а) Определение (смотри в справочнике) функций g_k,l(x) не позволяет вычислять их значения при  x = 1.  Но, поскольку функции g_k,l(x) являются многочленами, они определены и при  x = 1.  Докажите равенство  

б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи 61522 подставить значение  x = 1?

   Решение

Найдите сумму  S_l(x) = g_0,l(x) – g_1,l–1(x) + g_2,l–2(x) – ... + (–1)^lg_l,0(x).
Определение многочленов Гаусса g_k,l(x) можно найти в справочнике.

   Решение

Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с единицы, до некоторого n включительно:   12345678910111213...(n).
Существует ли такое n, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое количество раз?

   Решение

Найдите геометрическое место точек, лежащих внутри куба и равноудалённых от трёх скрещивающихся рёбер  a, b, c  этого куба.

   Решение

Докажите, что число
  а)  97⁹⁷,
  б)  1997¹⁷
нельзя представить в виде суммы кубов нескольких идущих подряд натуральных чисел.

   Решение

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что число
  а)  97⁹⁷,
  б)  1997¹⁷
нельзя представить в виде суммы кубов нескольких идущих подряд натуральных чисел.

Решение

  а) Куб числа, кратного 3, делится на 9. Если же число не делится на 3, то его можно записать в виде  n = 3k ± 1.  Тогда  n³ = 9(3k³ ± 3k² + k) ± 1,  то есть даёт остаток ±1 при делении на 9 (мы рассматриваем остаток –1 вместо остатка 8). Поэтому остатки при делении на 9 кубов последовательных натуральных чисел образуют последовательность  1, –1, 0, 1, –1, 0, ...  Отсюда сразу видно, что сумма любых трёх последовательных кубов делится на 9 и вообще сумма любого количества последовательных кубов может давать только остатки 0 и ±1 при делении на 9.
    97⁹⁷ ≡ (–2)⁹⁷ ≡ (–2)^6·16+1 ≡ –2 (mod 9),  так как  2⁶ = 64 ≡ 1 (mod 9).  Следовательно, 97⁹⁷ при делении на 9 даёт остаток –2, то есть не может быть суммой последовательных кубов.

  б) Будем рассматривать остатки при делении кубов на 7. Снова воспользуемся отрицательными остатками (–3, –2, –1 вместо, соответственно, 4, 5, 6). Имеем:  (±1)³ = ±1,  (±2)³ = ±8,  (±3)³ = ±27.  Поэтому последовательность остатков при делении кубов натуральных чисел на 7 выглядит так:  1, 1, –1, 1, –1, –1, 0, 1, ...  Отсюда видно, что сумма последовательных кубов может давать при делении на 7 только остатки 0, ±1 и ±2.
    1997¹⁷ ≡ 2¹⁷ ≡ 2^3·5+2 ≡ 4 (mod 7),  так как 2³ ≡ 1 (mod 7).  Следовательно, 1997¹⁷ при делении на 7 даёт остаток 4 и не может быть суммой последовательных кубов.

Замечания

1. Баллы: 4 + 4.

2. Ср. с задачей М1592 из Задачника "Кванта".

Источники и прецеденты использования