Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что сумма длин любых двух медиан произвольного треугольника
  а) не больше ¾ P, где P – периметр этого треугольника;
  б) не меньше ¾ p, где p – полупериметр этого треугольника.

   Решение

---

На сторонах треугольника ABC вне его построены правильные треугольники ABC₁, BCA₁ и CAB₁. Доказать, что + + = .

   Решение

---

У тетраэдра ABCD сумма площадей двух граней (с общим ребром AB) равна сумме площадей оставшихся граней (с общим ребром CD). Докажите, что середины рёбер BC, AD, AC и BD лежат в одной плоскости, причём эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD.

   Решение

---

Докажите, что для любого натурального n  2⁵ⁿ⁺³ + 5ⁿ·3ⁿ⁺²  делится на 17.

   Решение

---

Докажите неравенство для натуральных n:  

   Решение

---

а) Электрическая схема имеет вид решетки 3×3: всего в схеме 16 узлов (вершины квадратиков решётки), которые соединены проводами (стороны квадратиков решётки). Возможно, часть проводов перегорела. За одно измерение можно выбрать любую пару узлов схемы и проверить, проходит ли между ними ток (то есть, проверить, существует ли цепочка неперегоревших проводов, соединяющая эти узлы). В действительности схема такова, что ток проходит от каждого узла к любому другому. За какое наименьшее число измерений всегда можно в этом удостовериться?

б) Тот же вопрос для решётки 5×5 (всего 36 узлов).

   Решение

Темы:    [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Внутренность и внешность. Лемма Жордана ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

а) Электрическая схема имеет вид решетки 3×3: всего в схеме 16 узлов (вершины квадратиков решётки), которые соединены проводами (стороны квадратиков решётки). Возможно, часть проводов перегорела. За одно измерение можно выбрать любую пару узлов схемы и проверить, проходит ли между ними ток (то есть, проверить, существует ли цепочка неперегоревших проводов, соединяющая эти узлы). В действительности схема такова, что ток проходит от каждого узла к любому другому. За какое наименьшее число измерений всегда можно в этом удостовериться?

б) Тот же вопрос для решётки 5×5 (всего 36 узлов).

Решение

  Нетрудно убедиться в том, что если перегорели только провода, выходящие из фиксированного узла, то между любыми двумя другими узлами ток проходит. Поэтому каждый узел должен быть задействован в процессе измерений, то есть число измерений не может быть меньше половины числа узлов (8 в случае а) и 18 в случае б)).
  Покажем, что этого числа проверок достаточно. Для этого определенным образом разобьём все узлы на пары (узлы в паре пометим одинаковыми буквами) и для каждой проверим, что ток проходит между узлами этой пары.

  а) "Линия тока"  A–A  (B–B)  очевидно пересекается с линиями  C–C  и  D–D  (см. шаг 1). Таким образом, все узлы, помеченные буквами от A до D, связаны проводами (принадлежат одной компоненте). Остальные узлы также принадлежат этой компоненте – например линия тока  E–E  проходит либо через A, либо через C (см. шаг 2).

  б) Здесь потребуется три шага (см. рис.).

  На первом шаге все проверенные узлы принадлежат одной компоненте по теореме о пересечении ломаных. На втором шаге линия тока обязана пройти через один из узлов, принадлежащих компоненте, поскольку один из проверяемых узлов всегда окружен уже проверенными узлами. На третьем шаге проверяем узлы, симметричные относительно диагонали EEFGHH (каждая такая линия тока диагональ, очевидно, пересекает).

Замечания

1. Баллы: 5 + 5.

2. Ср. с задачей 98603.

Источники и прецеденты использования