Выбрано 11 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что если точка пересечения высот остроугольного
треугольника делит высоты в одном и том же отношении, то треугольник
правильный.
В треугольнике ABC медианы AA0, BB0, CC0 пересекаются в точке M.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников MA0B0, MCB0, MA0C0, MBC0 и точка M лежат на одной окружности.
В таблице m строк, n столбцов. Горизонтальным ходом называется такая перестановка элементов таблицы, при которой каждый элемент остаётся в той строке, в которой он был и до перестановки; аналогично определяется вертикальный ход ("строка" в предыдущем определении заменяется на "столбец"). Укажите такое k, что за k ходов (любых) можно получить любую перестановку элементов таблицы, но существует такая перестановка, которую нельзя получить за меньшее число ходов.
В банде 101 террорист. Все вместе они в вылазках ни разу не участвовали, а
каждые двое встречались в вылазках ровно по разу.
Докажите, что один из террористов участвовал не менее чем в 11 различных
вылазках.
Точки D и E делят стороны AC и AB правильного
треугольника ABC в отношениях
AD : DC = BE : EA = 1 : 2.
Прямые BD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что
AOC = 90o.
Петя увидел на доске несколько различных чисел и решил составить выражение, среди значений которого все эти числа есть, а других нет. Составляя выражение, Петя может использовать какие угодно числа, особый знак "±", а также обычные знаки "+", "–", "×" и скобки. Значения составленного выражения он вычисляет, выбирая для каждого знака "±" либо "+", либо "–" во всех возможных комбинациях. Например, если на доске были числа 4 и 6, подойдёт выражение 5 ± 1, а если на доске были числа 1, 2 и 3, то подойдёт выражение (2 ± 0,5) ± 0,5. Возможно ли составить необходимое выражение, если на доске были написаны
а) числа 1, 2, 4;
б) любые 100 различных действительных чисел?
Пароход шёл от Нижнего Новгорода до Астрахани 5 суток, а обратно – 7 суток. Сколько дней плывут плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани?
Функция f(x) на отрезке [a, b] равна максимуму из нескольких функций вида y = C·10–|x–d| (с различными d и C, причём все C положительны). Дано,
что
f(a) = f(b). Докажите, что сумма длин участков, на которых функция возрастает, равна сумме длин участков, на которых функция убывает.
Дан некоторый угол и точка A внутри него. Можно ли провести через точку A три прямые (не проходящие через вершину угла) так, чтобы на каждой из сторон угла одна из точек пересечения этих прямых со стороной лежала посередине между двумя другими точками пересечения прямых с этой же стороной?
Из посёлка Морозки ведет прямая дорога, в стороне от неё, на поле, расположена водокачка. Путнику нужно попасть из Морозок к водокачке. По дороге путник идет со скоростью 4 км/ч, а по полю – 3 км/ч. Как ему следует выбрать маршрут, чтобы дойти быстрее всего?
В однокруговом турнире участвовали 15 команд.
а) Докажите, что хотя бы в одной игре встретились команды, которые
перед этой игрой участвовали в сумме в нечётном числе игр этого турнира.
б) Могла ли такая игра быть единственной?
|
|
 |
Условие
В однокруговом турнире участвовали 15 команд.
а) Докажите, что хотя бы в одной игре встретились команды, которые
перед этой игрой участвовали в сумме в нечётном числе игр этого турнира.
б) Могла ли такая игра быть единственной?
Решение
a) Первый способ. Сложим эти суммы для всех игр. Каждая из 15 команд вносит в результат нечётный вклад: 0 + 1 + 2 + ... + 13. Значит, в результате получится нечётное число. Следовательно, хотя бы одно из слагаемых-сумм было нечётным.
Второй способ. Предположим противное: все игры делятся на чётные (к которым обе команды подошли с чётным "багажом") и нечётные. Каждая команда участвовала в семи чётных играх, значит, всего чётных игр 15·7 : 2 – нецелое число. Противоречие.
б) Первый способ. Покажем, что если расписание турнира с одной "нечётной" игрой возможно для n команд, то оно возможно и для n + 4 команд. После проведения турнира n старых команд, добавим новые команды A, B, C и D. Проведём игры A-B, C-D, A-C, B-D и A-D. Команды A и B сыграли разное по чётности число игр (3 и 2), поэтому одна из старых команд S может сыграть с ними (в том или другом порядке). После этого S может сыграть с командами C и D. При этом все новые сыграют по разу, то есть разные чётности в парах A и B, C и D сохранятся. Поэтому можно повторять процедуру с каждой из остальных старых команд, а в конце провести заключительный матч B-C.
Поскольку в турнире трёх команд одна "нечётная" игра, то, как показано выше, можно провести такой турнир и для семи, а, значит, и для 11 и 15 команд.
Второй способ. Предположим, что команда 15 прибывает с опозданием, а турнир начинают команды с номерами от 1 до 14. Они проводят первые 12 туров обычного однокругового турнира в 13 туров. В каждом туре играют между собой команды, сыгравшие до этого одинаковое количество игр, так что желаемая сумма всегда будет чётной. Пусть команда 15 прибывает после того, как сыграны первые три игры 13-го тура. На этот момент восемь команд (группа A) сыграли по 12 игр, а шесть (группа B) – по 13. Теперь команда 15 играет против команд из групп A и B поочередно, пока не сыграет с семью командами из A. Желаемая сумма в каждой из этих 13 игр чётна. Затем команда 14 играет с восьмой командой из A, при этом сумма нечётна. После этого проходят оставшиеся четыре игры 13-го тура, каждая с чётной суммой.
Ответ
б) Могла.
Замечания
баллы: 4 + 3
