ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Краткий справочник математических терминов

В этом кратком справочнике поясняются понятия и теоремы, упоминаемые в книгах и задачах, опубликованных на нашем сайте. Справочник ни в кой мере претендует на полноту — это лишь необходимый комментарий к нашим задачам. Справочник формируется в соответствии с запросами наших читателей. Если Вас интересует, что означает данный термин, или что утверждает данная теорема, заполните форму, и мы ответим на Ваш вопрос.

Запрос
От кого (e-mail):
Что Вас интересует:
Знаком "*" помечены факты, относящиеся к данному понятию, знаком "-" помечены варианты формулировки определений.

А  Б  В  Г  Д  З  И  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Э  

Статьи на букву 'Н':

  • Наклонная
    Пусть BA — перпендикуляр, опущенный из точки B на прямую a, C — любая точка прямой a, отличная от A. Отрезок BC называется наклонной, проведённой из точки B к прямой a. Точка C называется основанием наклонной. Отрезок AC называется (ортогональной) проекцией наклонной.

    *  Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные (ортогональные) проекции, из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

  • Неравенство

    • Йиффа
      Неравенство Йиффа утверждает, что для угла Брокара $ \varphi$ данного треугольника выполнено неравенство 8$ \varphi^{3}_{}$$ \le$$ \alpha$$ \beta$$ \gamma$, где $ \alpha$,$ \beta$,$ \gamma$ — углы искомого треугольника.
      (См. задачу 56975.)

    • Коши (о среднем арифметическом и среднем геометрическом)
      Для любых неотрицательных чисел x1, x2,..., xn верно неравенство:

      $\displaystyle {\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}}$ $\displaystyle \geqslant$ $\displaystyle \sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}$,

      причем равенство достигается тогда и только тогда, когда x1 = x2 = ... = xn. Выражение $ {\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}}$ называется средним арифметическим, а $ \sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}$ — средним геометрическим чисел x1, x2,..., xn. Неравенство Коши и его частный случай при n = 2 ( $ {\frac{a+b}{2}}$ $ \geqslant$ $ \sqrt{ab}$ при a, b $ \geqslant$ 0) очень полезны и часто используются при решении задач и для доказательства других неравенств.
      (См. задачу 60310.)

    • Пидо
      Пусть a, b, c и a', b', c' — длины сторон треугольников ABC и A'B'C', S и S' — их площади. Тогда

      a2(- a'2 + b'2 + c'2) + b2(a'2 - b'2 + c'2) + c2(a'2 + b'2 - c'2)$\displaystyle \ge$16SS',

      причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти треугольники подобны.
      (См. задачу 57466.)

    • Птолемея
      Для любых точек A, B, C, D плоскости выполнено неравенство

      AC . BD $\displaystyle \leq$ AB . CD + BC . AD,

      причем равенство достигается тогда и только тогда, когда ABCD (выпуклый) вписанный четырехугольник.

      Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если A1, A2, ...A6 — произвольные точки плоскости, то

      \begin{multline*}
A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6\le
A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_4A...
...
+A_2A_3\cdot A_4A_5\cdot A_1A_6+A_3A_4\cdot A_2A_5\cdot A_1A_6,
\end{multline*}

      причем равенство достигается тогда и только тогда, когда A1...A6 — вписанный шестиугольник.
      (См. задачу 58396.)

    • треугольника
      Неравенство треугольника утверждает, что для любых трех точек A, B, C плоскости (пространства) верно, что | AB| + | BC| $ \geq$ | AC|, где через | XY| обозначено расстояние между точками X и Y.

      *  Неравенство треугольника обращается в равенство тогда и только тогда, когда точки A, B и C лежат на одной прямой, причем B лежит между A и C.

      *  Если $ \overrightarrow{x}$,$ \overrightarrow{y}$ — два вектора (два элемента нормированного пространства), то неравенство треугольника примет вид |$ \overrightarrow{x}$| + |$ \overrightarrow{y}$| $ \geq$ |$ \overrightarrow{x+y}$|, где через |$ \overrightarrow{z}$| обозначена длина (норма) вектора $ \overrightarrow{z}$. Неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда векторы $ \overrightarrow{x}$ и $ \overrightarrow{y}$сонаправлены.

    • Эрдёша-Морделла
      Пусть точка O лежит внутри треугольника ABC. Обозначим расстояния от точки O до сторон BC, CA, AB треугольника через  da, db, dc, а расстояния от точки O до вершин A, B, C через  Ra, Rb, Rc. Тогда

      Ra + Rb + Rc $\displaystyle \geq$ 2(da + db + dc).


      (См. задачу 56810.)

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .