Изобразите на комплексной плоскости множество точек z, удовлетворяющих условию  |z – 1 – i| = 2|z + 1 – i|.

   Решение

В прямоугольной трапеции основания равны 17 и 25, а большая боковая сторона равна 10. Через середину M этой стороны проведён к ней перпендикуляр, пересекающий продолжение второй боковой стороны в точке P. Найдите MP.

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC точка D выбрана на стороне AB так, что DCA = 45^o. Точка D₁ симметрична точке D относительно прямой BC, а точка D₂ симметрична точке D₁ относительно прямой AC и лежит на продолжении отрезка BC за точку C. Найдите площадь треугольника ABC, если BC = CD₂, AB = 4.

   Решение

Число n называется совершенным, если  σ(n) = 2n.
Докажите, что если  2^k – 1 = p  – некоторое простое число Мерсенна, то  n = 2^k–1(2^k – 1)  – совершенное число.

   Решение

Докажите. что если в трапеции ABCD середину M одной боковой стороны AB соединить с концами другой боковой стороны CD, то площадь полученного треугольника CMD составит половину площади трапеции.

   Решение

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат ABDE. Известно, что  AC = 1,   BC = 3.
В каком отношении делит сторону DE биссектриса угла C?

   Решение

Из одинакового количества квадратов со сторонами 1, 2 и 3 составьте квадрат наименьшего возможного размера.

   Решение

Доказать, что в любом треугольнике имеет место неравенство: R2r (R и r — радиусы описанного и вписанного кругов соответственно), причем равенство R = 2r имеет место только для правильного треугольника.

   Решение

Требуется разделить криволинейный треугольник на рисунке на 2 части одинаковой площади, проведя одну линию циркулем. Это можно сделать, выбрав в качестве центра одну из отмеченных точек и проводя дугу через другую отмеченную точку. Найдите способ это сделать и докажите, что он подходит.

   Решение

Докажите, что многочлен  x¹² – x⁹ + x⁴ – x + 1  при всех значениях x положителен.

   Решение

Даны два треугольника A₁A₂A₃ и B₁B₂B₃. "Опишите" вокруг треугольника A₁A₂A₃ треугольник M₁M₂M₃ наибольшей площади, подобный треугольнику B₁B₂B₃ (вершина A₁ должна лежать на прямой M₂M₃, вершина A₂ – на прямой A₁A₃, вершина A₃ – на прямой A₁A₂).

   Решение

Докажите, что для положительных чисел x₁, x₂, ..., x_n, не превосходящих 1, выполнено неравенство
   

   Решение

Докажите равенство:

   Решение

Окружность высекает на всех четырех сторонах четырехугольника равные хорды. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      

Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром O. Докажите, что  AOB + COD = 180^o.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если центр вписанной в четырехугольник окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей, то этот четырехугольник — ромб.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если существует окружность, касающаяся всех сторон выпуклого четырехугольника ABCD, и окружность, касающаяся продолжений всех его сторон, то диагонали такого четырехугольника перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Окружность высекает на всех четырех сторонах четырехугольника равные хорды. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]