ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 100]      



Задача 61272  (#09.021)

Темы:   [ Кубические многочлены ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Фазовая плоскость коэффициентов ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек  (p, q),  для которых уравнение  x³ + px + q = 0  имеет
  а) один корень;   б) два корня;   в) три различных корня;   г) три совпадающих корня.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61273  (#09.022)

Темы:   [ Кубические многочлены ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Фазовая плоскость коэффициентов ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек  (p, q),  для которых все корни уравнения  x³ + px + q = 0  не превосходят по модулю 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61274  (#09.023)

Темы:   [ Кубические многочлены ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Фазовая плоскость коэффициентов ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Изобразите на фазовой плоскости Opq множество точек  (p, q),  для которых уравнение  x³ + px + q = 0  имеет три различных корня, принадлежащих интервалу  (–2, 4).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61275  (#09.024)

 [Метод Виета]
Темы:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Когда  4p³ + 27q² < 0,  уравнение  x³ + px + q = 0  имеет три действительных корня (неприводимый случай кубического уравнения), но для того, чтобы их найти по формуле Кардано, необходимо использование комплексных чисел. Однако можно указать все три корня в явном виде через тригонометрические функции.
  а) Докажите, что при  p < 0  уравнение  x³ + px + q = 0  заменой  x = kt  сводится к уравнению  4t³ – 3t – r = 0   (*)  от переменной t.
  б) Докажите, что при  4p³ + 27q² ≤ 0  решениями уравнения (*) будут числа  t1 = cos,   t2 = cos,   t3 = cos,  где  φ = arccos r.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61276  (#09.025)

Темы:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ]
[ Тригонометрические уравнения ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Решите уравнения
  а)  x³ – 3x – 1 = 0;
  б)  x³ – 3x = 0.
Укажите в явном виде все корни этих уравнений.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 100]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .