ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      



Задача 108005

Темы:   [ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))
Прислать комментарий     Решение


Задача 56923

Темы:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC взяты точки  A1, B1, C1. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ . $\displaystyle {\frac{BA_1}{A_1C}}$ . $\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ACC_1}{\sin C_1CB}}$ . $\displaystyle {\frac{\sin BAA_1}{\sin A_1AC}}$ . $\displaystyle {\frac{\sin CBB_1}{\sin B_1BA}}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 56914

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C1, A1 и B1, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть

R = $\displaystyle {\frac{BA_1}{CA_1}}$ . $\displaystyle {\frac{CB_1}{AB_1}}$ . $\displaystyle {\frac{AC_1}{BC_1}}$.


Докажите, что:
а) точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).
Прислать комментарий     Решение

Задача 56915

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 5
Классы: 9

Вписанная (или вневписанная) окружность треугольника ABC касается прямых BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение


Задача 56917

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .