ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 98220  (#1)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Существует ли бесконечное число таких троек целых чисел x, y, z, что   x² + y² + z² = x³ + y³ + z³?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98221  (#2)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Уравнения с модулями ]
[ Обратный ход ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Шабат Г.Б.

{an} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за x идет  1 – |1 – 2x|.
  а) Докажите, что если a1 рациональное, то последовательность начиная с некоторого места, периодическая.
  б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то a1 – рациональное.

Прислать комментарий     Решение

Задача 107765  (#3)

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Малые шевеления ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Существует ли такой многочлен P(x), что у него есть отрицательный коэффициент, а все коэффициенты любой его степени (P(x))n,  n > 1,  положительны?

Прислать комментарий     Решение

Задача 107763  (#4)

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

D – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 107758  (#5)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулем, которое при вычеркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .