ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 110085  (#02.4.11.1)

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Действительные числа x и y таковы, что для любых различных простых нечётных p и q число  xp + yq   рационально.
Докажите, что x и y – рациональные числа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110086  (#02.4.11.2)

Темы:   [ Четырехугольная пирамида ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Сферы (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Высота четырехугольной пирамиды SABCD проходит через точку пересечения диагоналей ее основания ABCD . Из вершин основания опущены перпендикуляры AA1 , BB1 , CC1 , DD1 на прямые SC , SD , SA и SB соответственно. Оказалось, что точки S , A1 , B1 , C1 , D1 различны и лежат на одной сфере. Докажите, что прямые AA1 , BB1 , CC1 , DD1 проходят через одну точку.
Прислать комментарий     Решение


Задача 110087  (#02.4.11.3)

Темы:   [ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Храмцов Д.

Набор чисел a0, a1, ..., an удовлетворяет условиям:  a0 = 0,  ak+1ak + 1  при  k = 0, 1, ..., n – 1.  Докажите неравенство  

Прислать комментарий     Решение

Задача 110088  (#02.4.11.4)

Темы:   [ Раскраски ]
[ Принцип крайнего ]
[ Таблицы и турниры (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Каждая клетка клетчатой плоскости раскрашена в один из n² цветов так, что в каждом квадрате из клеток встречаются все цвета. Известно, что в какой-то строке встречаются все цвета. Докажите, что существует столбец, раскрашенный ровно в n цветов.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110089  (#02.4.11.5)

Темы:   [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]
[ Итерации ]
[ Соображения непрерывности ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Пусть P(x) – многочлен нечётной степени. Докажите, что уравнение  P(P(x)) = 0  имеет не меньше различных действительных корней, чем уравнение  P(x) = 0.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .