Каталог по темам

Задачи

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 92]

Задача 57660

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите, что координаты центра его описанной окружности также рациональны.

Прислать комментарий Решение

Задача 86505

Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Найдите все значения а, для которых выражения а + и ¹/_а – принимают целые значения.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78056

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Доказать, что если ^p/_q – несократимая рациональная дробь, являющаяся корнем полинома f(x) с целыми коэффициентами, то p – kq есть делитель числа f(k) при любом целом k.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98221

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Уравнения с модулями	]
	[	Обратный ход	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Шабат Г.Б.

{a_n} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за x идёт 1 – |1 – 2x|.
а) Докажите, что если a₁ рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая.
б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то a₁ рационально.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107761

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Обратный ход	]
	[	Уравнения с модулями	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Шабат Г.Б.

Бесконечная последовательность чисел x_n определяется условиями: x_n+1 = 1 – |1 – 2x_n|, причём 0 ≤ x₁ ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда x₁ рационально.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 92]