Страница:
<< 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 199]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Дно прямоугольной коробки вымощено плитками 1 × 4 и 2 × 2. Плитки высыпали из коробки и одна плитка 2 × 2 потерялась. Ее заменили на плитку 1 × 4. Докажите, что теперь дно коробки вымостить не удастся.
Решение
Рассмотрим раскраску в 4 цвета, такую, что каждая плитка 2 × 2 содержит ровно одну клетку цвета 1, а каждая плитка 1 × 4 - ни одной или две клетки цвета 1. Следовательно, четность числа плиток 2 × 2 должна совпадать с четностью числа клеток цвета 1, что и доказывает утверждение задачи.
В задаче 19 выясните, какие карточки можно получить из карточки (5, 19), а какие нельзя.
Решение
В точности те (
a,
b), для которых
a <
b и
b -
a делится на 7.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
На доске написано несколько приведённых многочленов 37-й степени, все коэффициенты которых неотрицательны. Разрешается выбрать любые два выписанных многочлена f и g и заменить их на такие два приведённых многочлена 37-й степени f1 и g1, что f + g = f1 + g1 или fg = f1g1. Докажите, что после применения любого конечного числа таких операций не может оказаться, что каждый многочлен на доске имеет 37 различных положительных корней.
Решение
Заметим, что при замене многочленов f и g на f1 и g1 сумма коэффициентов при 36-х степенях этих многочленов не меняется. Для замены первого вида (при которой f + g = f1 + g1) это очевидно, а при замене второго вида это следует из равенства
(x37 + ax36 + ...)(x37 + bx36 + ...) = x74 + (a + b)x73 + ... Но вначале сумма всех таких коэффициентов у выписанных на доске многочленов неотрицательна, значит, она всегда будет такой. Если в конце все многочлены будут иметь по 37 корней, то по теореме Виета эта сумма равна сумме всех этих корней с обратным знаком. Следовательно, среди корней будут неположительные.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
В правильном десятиугольнике проведены все диагонали. Возле каждой вершины
и возле каждой точки пересечения диагоналей поставлено число +1 (рассматриваются
только сами диагонали, а не их продолжения). Разрешается одновременно изменить
все знаки у чисел, стоящих на одной стороне или на одной диагонали. Можно ли с помощью нескольких таких операций изменить все знаки на противоположные?
Решение
Рассмотрим три диагонали десятиугольника, изображённые на рисунке.
Заметим, что через три отмеченные точки не проходит более ни одной диагонали. На каждом шаге меняется знак у
чётного числа единиц, стоящих возле этих трёх точек. Поэтому возле них всегда будет
нечётное число "плюс единиц". Следовательно, изменить все знаки невозможно.
Ответ
Нельзя.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого – квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?
Решение
Введём на листе прямоугольную систему координат с осями, параллельными линиям сетки, и началом координат в одном из узлов. Назовём чётностью узла чётность суммы его координат. Будем считать одну из ножек циркуля первой, а другую – второй и посмотрим, как меняется чётность узлов, в которые попадает вторая ножка при выполнении шагов. Обозначим вектор, соединяющий первую ножку со второй после i-го шага, через (xi, yi), i = 1, 2, ..., тогда 
– квадрату раствора циркуля – целому числу. Рассмотрим три возможных случая.
1) d² – нечётно. Тогда во всех парах (xi, yi) одно из чисел чётно, другое нечётно, поэтому xi + yi нечётно, и на i-м шаге чётность основания передвигаемой ножки изменяется на xi + yi – xi–1 – yi–1 = 2ki, то есть сохраняется. Чётность неподвижной ножки, очевидно, тоже сохраняется. Поскольку изначально чётности ножек были различны (в силу нечётности числа d ≡ x0 + y0 (mod 2)), поменяться местами ножки не смогут.
2) d² = 4n + 2. Тогда все числа xi, yi нечётны, и координаты оснований ножек изменяются на i-м шаге на xi – xi–1 = 2ki или yi – yi–1 = 2li, сохраняя свою чётность.
И снова, поскольку изначально чётности разных ножек по каждой из координат были различны (в силу нечётности x0 и y0), ножки циркуля не смогут поменяться местами.
в) d² = 4n. В этом случае все числа xi, yi чётны.
Рассмотрим вместо исходной новую сетку, у которой ячейки – квадраты со стороной в два раза больше, причём ножки циркуля исходно располагаются в её узлах. Тогда шаги циркуля будут выполняться по узлам новой сетки, а для неё выполнен один из случаев 1), 2) или 3). При этом квадрат длины в новой сетке уменьшился в 4 раза (из-за выбора новой единицы измерения), поэтому случай 3) не может продолжаться до бесконечности.
Ответ
Нельзя.
Страница:
<< 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 199]
Фильтр
