Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 199]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97856

Темы:   [ Инварианты ] [ Правильные многоугольники ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

В правильном десятиугольнике проведены все диагонали. Возле каждой вершины и возле каждой точки пересечения диагоналей поставлено число +1 (рассматриваются только сами диагонали, а не их продолжения). Разрешается одновременно изменить все знаки у чисел, стоящих на одной стороне или на одной диагонали. Можно ли с помощью нескольких таких операций изменить все знаки на противоположные?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109957

Темы:   [ Инварианты ] [ Метод координат на плоскости ] [ Четность и нечетность ] [ Процессы и операции ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого – квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64718

Темы:   [ Инварианты ] [ Процессы и операции ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: A₁, A₂, ..., A₁₀, причём их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает вдоль окружности через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках A₁, A₂, ..., A₉, а десятый сидит на дуге A₉A₁₀A₁. Можно ли утверждать, что он сидит именно в точке A₁₀?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65835

Темы:   [ Инварианты ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

На доске можно либо написать две единицы, либо стереть любые два уже написанных одинаковых числа n и написать вместо них числа  n + 1  и  n – 1.  Какое минимальное количество таких операций требуется, чтобы получить число 2005? (Сначала доска была чистой.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30771

Тема:   [ Инварианты ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Фишка ходит по квадратной доске, каждым своим ходом сдвигаясь либо на клетку вверх, либо на клетку вправо, либо по диагонали вниз-влево. Может ли она обойти всю доску, побывав на всех полях ровно по одному разу, и закончить на поле, соседнем справа от исходного?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 199]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями