ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]      



Задача 110747

Темы:   [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ]
[ Правильная пирамида ]
[ Биссекторная плоскость ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Плоскость проходит через сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды и делит пополам двугранный угол при этой стороне. Найдите площадь основания пирамиды наименьшего объёма, если известно, что указанная плоскость пересекает высоту пирамиды в точке, удалённой на расстояние d от плоскости основания.
Прислать комментарий     Решение


Задача 61335

 [Метод Архимеда]
Темы:   [ Окружности (прочее) ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные n-угольники. Обозначим их периметры через Pn (для описанного) и pn (для вписанного).
   а) Найдите P4, p4, P6 и p6.
   б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения:    P2n = ,        p2n =         (n ≥ 3).
   в) Найдите P96 и p96. Докажите неравенства   310/71 < π < 31/7.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116698

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 11

В треугольнике ABC высоты или их продолжения пересекаются в точке H, а R – радиус его описанной окружности.
Докажите, что если  ∠A ≤ ∠B ≤ ∠C,  то  AH + BH ≥ 2R.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64987

Темы:   [ Неравенства с биссектрисами ]
[ Неравенства для площади треугольника ]
[ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Рожкова М.

Докажите, что для любого неравнобедренного треугольника   ,   где l1, l2 – наибольшая и наименьшая биссектрисы треугольника, S – его площадь.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115782

Темы:   [ Вневписанные окружности ]
[ Неравенства с площадями ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Экстремальные свойства (прочее) ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

В угол A, равный α, вписана окружность, касающаяся его сторон в точках B и C. Прямая, касающаяся окружности в некоторой точке M, пересекает отрезки AB и AC в точках Р и Q соответственно. При каких α может быть выполнено неравенство SPAQ < SBMC?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .