ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 58]      



Задача 97763

Темы:   [ Площадь (прочее) ]
[ Конус ]
[ Векторы (прочее) ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Площадь сферы и ее частей ]
[ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказать, что среди них найдутся два, угол между которыми меньше 45°.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115687

Темы:   [ Ломаные ]
[ Пятиугольники ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Замкнутая пятизвенная ломаная образует равноугольную звезду (см. рис.).
Чему равен периметр внутреннего пятиугольника ABCDE, если длина исходной ломаной равна 1?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61158

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Вычисления. Метрические соотношения в многоугольниках ]
[ Момент инерции ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Правильный n-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что
а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна n²;
б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  n ctg π/2n;
в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  nn/2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110747

Темы:   [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ]
[ Правильная пирамида ]
[ Биссекторная плоскость ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Плоскость проходит через сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды и делит пополам двугранный угол при этой стороне. Найдите площадь основания пирамиды наименьшего объёма, если известно, что указанная плоскость пересекает высоту пирамиды в точке, удалённой на расстояние d от плоскости основания.
Прислать комментарий     Решение


Задача 61335

 [Метод Архимеда]
Темы:   [ Окружности (прочее) ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные n-угольники. Обозначим их периметры через Pn (для описанного) и pn (для вписанного).
   а) Найдите P4, p4, P6 и p6.
   б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения:    P2n = ,        p2n =         (n ≥ 3).
   в) Найдите P96 и p96. Докажите неравенства   310/71 < π < 31/7.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 58]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .