Версия для печати
Убрать все задачи

---

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M; P – произвольная точка. Прямая l_a проходит через точку A параллельно прямой PA₁, прямые l_b и l_c определяются аналогично. Докажите, что
  а) прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке (обозначим её через Q);
  б) точка M лежит на отрезке PQ, причём  PM : MQ = 1 : 2.

   Решение

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 323]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109194

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

У ведущего есть колода из 52 карт. Зрители хотят узнать, в каком порядке лежат карты (при этом не уточняя   сверху вниз или снизу вверх). Разрешается задавать ведущему вопросы вида "Сколько карт лежит между такой-то и такой-то картами?". Один из зрителей подсмотрел, в каком порядке лежат карты. Какое наименьшее число вопросов он должен задать, чтобы остальные зрители по ответам на эти вопросы могли узнать порядок карт в колоде?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109198

Темы:   [ Комбинаторика орбит ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Скажем, что колода из 52 карт сложена правильно, если каждая пара лежащих рядом карт совпадает по масти или достоинству, то же верно для верхней и нижней карты, и наверху лежит туз пик. Докажите, что число способов сложить колоду правильно
  а) делится на 12!;
  б) делится на 13!.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109648

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Перестройки ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Произвольные многоугольники ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 5- Классы: 10

Многоугольник можно разбить на 100 прямоугольников, но нельзя – на 99. Докажите, что его нельзя разбить на 100 треугольников.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111344

Темы:   [ Раскраски ] [ Деление с остатком ] [ Четность и нечетность ] [ Индукция (прочее) ] [ Обыкновенные дроби ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной чётности зависит только от цветов слагаемых.
  а) Докажите, что полусумма чисел одной чётности одного цвета всегда окрашена в тот же цвет.
  б) При каких N такая раскраска возможна?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111694

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Центральная симметрия (прочее) ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Свойства коэффициентов многочлена ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение  P(m) + P(n) = 0  имеет бесконечно много решений в целых числах m и n.
Докажите, что у графика  y = P(x)  есть центр симметрии.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 323]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями