Страница: << 59 60 61 62 63 64 65 [Всего задач: 325]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116231

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Комбинаторика (прочее) ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Продавец хочет разрезать кусок сыра на части, которые можно будет разложить на две кучки равного веса. Он умеет разрезать любой кусок сыра в одном и том же отношении  a : (1 – a)  по весу, где  0 < a < 1.  Верно ли, что на любом промежутке длины 0,001 из интервала  (0, 1)  найдётся значение a, при котором он сможет добиться желаемого результата с помощью конечного числа разрезов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116286

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Две фирмы по очереди нанимают программистов, среди которых есть 11 гениев. Первого программиста каждая фирма выбирает произвольно, а каждый следующий должен быть знаком с кем-то из ранее нанятых данной фирмой. Если фирма не может нанять программиста по этим правилам, она прекращает приём, а другая может продолжать. Список программистов и их знакомств заранее известен, включая информацию о том, кто гении. Могут ли знакомства быть устроены так, что фирма, вступающая в игру второй, сможет нанять 10 гениев, как бы ни действовала первая фирма?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98443

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Четность и нечетность ] [ Деревья ] [ Доказательство от противного ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Замощения костями домино и плитками ] [ Раскраски ] [ Теорема Пика ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Ладья, делая ходы по вертикали и горизонтали на соседнее поле, за 64 хода обошла все поля шахматной доски 8×8 и вернулась на исходное поле. Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107826

Темы:   [ Взвешивания ] [ Индукция (прочее) ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 5+ Классы: 7,8,9

Банкир узнал, что среди одинаковых на вид монет одна — фальшивая (более легкая). Он попросил эксперта определить эту монету с помощью чашечных весов без гирь, причем потребовал, чтобы каждая монета участвовала во взвешиваниях не более двух раз. Какое наибольшее число монет может быть у банкира, чтобы эксперт заведомо смог выделить фальшивую за n взвешиваний?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67603

Темы:   [ Взвешивания ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Дано натуральное $k$. На столе по кругу лежат $n$ внешне одинаковых монет массами $1$, $2$, $\ldots$, $n$ г. Вам известно, что эти массы идут по порядку, но неизвестно, по часовой стрелке или против, и с какого места начинаются. Барон Мюнхгаузен утверждает, что вы можете сделать $k$ взвешиваний на чашечных весах без гирь так, чтобы по их результатам гарантированно определить массу хотя бы одной монеты. При каком наибольшем $n$ слова барона будут правдой? (На каждую чашу помещается сколько угодно монет.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 59 60 61 62 63 64 65 [Всего задач: 325]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями