Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 215]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65398

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ] [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Параллелограмм Вариньона ] [ Свойства сечений ] [ Центр масс ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

У тетраэдра ABCD сумма площадей двух граней (с общим ребром AB) равна сумме площадей оставшихся граней (с общим ребром CD). Докажите, что середины рёбер BC, AD, AC и BD лежат в одной плоскости, причём эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65646

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Необычные построения (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Дан квадратный лист бумаги со стороной 2016. Можно ли, согнув его не более десяти раз, построить отрезок длины 1?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65879

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Птолемея ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω с центром O, причём O не лежит на диагоналях четырёхугольника. Описанная окружность Ω₁ треугольника AOC проходит через середину диагонали BD. Докажите, что описанная окружность Ω₂ треугольника BOD проходит через середину диагонали AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65934

Темы:   [ Четырехугольники (построения) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Экстремальные свойства (прочее) ] [ Движение помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан треугольник АВС и две прямые l₁, l₂. Через произвольную точку D на стороне АВ проводится прямая, параллельная l₁, пересекающая АС в точке Е, и прямая, параллельная l₂, пересекающая ВС в точке F. Построить точку D, для которой отрезок EF имеет наименьшую длину.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65937

Темы:   [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

В остроугольном неравностороннем треугольнике отметили четыре точки: центры вписанной и описанной окружностей, точку пересечения медиан и ортоцентр. Затем сам треугольник стерли. Оказалось, что невозможно установить, какому центру соответствует каждая из отмеченных точек. Найдите углы треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 215]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями