Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 196]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115776

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Теорема синусов ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Хорды и секущие (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На стороне AB треугольника ABC взяты такие точки X, Y, что  AX = BY.  Прямые CX и CY вторично пересекают описанную окружность треугольника в точках U и V. Докажите, что все прямые UV проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115859

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Формула Эйлера ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC равны R и r; O, I – центры этих окружностей. Внешняя биссектриса угла C пересекает прямую AB в точке P. Точка Q – проекция точки P на прямую OI. Найдите расстояние OQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115862

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Центральное проектирование ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема Стюарта ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В треугольнике ABC  M – точка пересечения медиан, I – центр вписанной окружности, A₁ и B₁ – точки касания этой окружности со сторонами BC и AC, G – точка пересечения прямых AA₁ и BB₁. Докажите, что угол CGI прямой тогда и только тогда, когда   GM || AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115872

Темы:   [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Три прямые проходят через точку O и образуют попарно равные углы. На одной из них взяты точки A₁, A₂, на другой – B₁, B₂, так что точка C₁ пересечения прямых A₁B₁ и A₂B₂ лежит на третьей прямой. Пусть C₂ – точка пересечения A₁B₂ и A₂B₁. Докажите, что угол C₁OC₂ прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115904

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Окружности, вписанные в сегмент ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Известно, что четыре окружности, каждая из которых касается его диагоналей и описанной окружности изнутри, равны. Верно ли, что ABCD – квадрат?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 196]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями