Все авторы
>>
Васильев Н.Б. 
Николай Борисович Васильев(1940-1998) - математик, многолетний руководитель "Задачника Кванта", ведущий методист Всесоюзной заочной математической школы, в 1958-1979 - активнейший член жюри Московской, Всероссийской и Всесоюзной олимпиад, один из организаторов Турнира городов, автор книг "Задачи всесоюзных математических олимпиад", "Заочные математические олимпиады", "Прямые и кривые", "Математические соревнования. Геометрия".
Фильтр
Выбрано 16 задач Убрать все задачи
В стране N 1998 городов, и из каждого осуществляются беспосадочные перелеты в три других города (все авиарейсы двусторонние). Известно, что из каждого города, сделав несколько пересадок, можно долететь до любого другого. Министерство Безопасности хочет объявить закрытыми 200 городов, никакие два из которых не соединены авиалинией. Докажите, что это можно сделать так, чтобы можно было долететь из каждого незакрытого города в любой другой, не делая пересадок в закрытых городах.
На координатной плоскости нарисовано n парабол, являющихся графиками квадратных трёхчленов; никакие две из них не касаются. Они делят плоскость на несколько областей, одна из которых расположена над всеми параболами. Докажите, что у границы этой области не более 2(n – 1) углов (то есть точек пересечения пары парабол).
В тетраэдр ABCD , длины всех ребер которого не более 100, можно поместить две непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поместить одну сферу диаметра 1,01.
На плоскости дано конечное множество точек X и правильный треугольник T . Известно, что любое подмножество X' множества X , состоящее из не более 9 точек, можно покрыть двумя параллельными переносами треугольника T . Докажите, что все множество X можно покрыть двумя параллельными переносами T .
Каждую грань тетраэдра можно поместить в круг радиуса 1 . Докажите, что весь тетраэдр можно поместить в шар радиуса .
На плоскости нарисовано несколько прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что каждые два прямоугольника можно пересечь вертикальной или горизонтальной прямой. Докажите, что можно провести одну горизонтальную и одну вертикальную прямую так, чтобы любой прямоугольник пересекался хотя бы с одной из этих двух прямых.
Высота и радиус основания цилиндра равны 1. Каким наименьшим числом шаров радиуса 1 можно целиком покрыть этот цилиндр?
Юра начертил на клетчатой бумаге прямоугольник (по клеточкам) и нарисовал на нём картину. После этого он нарисовал вокруг картины рамку шириной в одну клеточку (см. рис.). Оказалось, что площадь картины равна площади рамки. Какие размеры могла иметь Юрина картина?
Разрежьте «печенье» на 16 равных частей (т. е. одинаковых по размеру и по форме). Разрезы не обязательно прямолинейные.
В каждой клетке квадрата 8×8 клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из нескольких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Может ли количество этих частей быть больше
а) 15;
б) 20?
в) Может ли в аналогичной задаче про квадрат n×n клеток получиться больше чем n²/4 частей (для n > 8)?
Рассматриваются всевозможные шестизвенные замкнутые ломаные, все вершины
которых лежат на окружности.
а) Нарисуйте такую ломаную, которая имеет наибольшее возможное
число точек самопересечения.
б) Докажите, что большего числа самопересечений такая ломаная не
может иметь.
Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение
где a1 , a2 , a50 , b1 , b2 , b50 – различные числа?
В треугольнике ABC точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA и AB соответственно. Известно, что ∠AC'B' = ∠B'A'C, ∠CB'A' = ∠A'C'B, ∠BA'C' = ∠C'B'A. Докажите, что точки A', B', C' – середины сторон треугольника ABC.
Петя вырезал из бумаги прямоугольник, положил на него такой же прямоугольник и склеил их по периметру. В верхнем прямоугольнике он провёл диагональ, опустил на неё перпендикуляры из двух оставшихся вершин, разрезал верхний прямоугольник по этим линиям и отогнул полученные треугольники во внешнюю сторону, так что вместе с нижним прямоугольником они образовали прямоугольник.
Как по полученному прямоугольнику восстановить исходный с помощью циркуля и линейки?
Тремя бесконечными сериями равноотстоящих параллельных прямых плоскость
разбита на равносторонние треугольники со стороной 1.
M – множество всех их вершин. A и B – две вершины одного треугольника. Разрешается поворачивать плоскость на 120° вокруг любой из вершин множества M. Можно ли за несколько таких преобразований перевести точку A в точку B?
Пусть k и n – натуральные числа, k ≤ n. Расставьте первые n² натуральных чисел в таблицу n×n так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в k-м столбце была а) наименьшей; б) наибольшей.
Все задачи автора Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]
Задача 64724 |
|
|
В каждой клетке квадрата 8×8 клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из нескольких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Может ли количество этих частей быть больше
а) 15;
б) 20?
в) Может ли в аналогичной задаче про квадрат n×n клеток получиться больше чем n²/4 частей (для n > 8)?
|
|
Решение |
Задача 73704 |
|
|
Пусть k и n – натуральные числа, k ≤ n. Расставьте первые n² натуральных чисел в таблицу n×n так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в k-м столбце была а) наименьшей; б) наибольшей.
|
|
|
Решение |
Задача 97877 |
|
|
Выпуклой фигурой F нельзя накрыть полукруг радиуса R. Может ли случиться, что двумя фигурами, равными F, можно накрыть круг радиуса R?
|
|
Решение |
Задача 98072 |
|
|
Тремя бесконечными сериями равноотстоящих параллельных прямых плоскость
разбита на равносторонние треугольники со стороной 1.
M – множество всех их вершин. A и B – две вершины одного треугольника. Разрешается поворачивать плоскость на 120° вокруг любой из вершин множества M. Можно ли за несколько таких преобразований перевести точку A в точку B?
|
|
|
Решение |
Задача 98220 |
|
|
Существует ли бесконечное число таких троек целых чисел x, y, z, что x² + y² + z² = x³ + y³ + z³?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]
