ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Голованов А.С.

Александр Сергеевич Голованов - зам. директора Центра Математического образования Санкт-Петербурга, член жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 43]      



Задача 110058

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ]
[ Тригонометрические уравнения ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Дана последовательность {xk} такая, что x1=1 , xn+1=n sin xn+1 . Докажите, что последовательность непериодична.
Прислать комментарий     Решение


Задача 115408

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Последовательности (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел каждое делится хотя бы на одно из чисел 1005 и 1006, но ни одно не делится на 97. Кроме того, каждые два соседних числа отличаются не более чем на k. При каком наименьшем k такое возможно?

Прислать комментарий     Решение

Задача 115414

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Дано натуральное  n > 1.  Число  a > n²  таково, что среди чисел  a + 1, a + 2, ..., a + n  есть кратные каждого из чисел  n² + 1, n² + 2, ..., n² + n.
Докажите, что  a > n4n³.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116582

Темы:   [ Доказательство от противного ]
[ Разложение на множители ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Целые числа a и b таковы, что при любых натуральных m и n число  am² + bn²  является точным квадратом. Докажите, что  ab = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109724

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Математическая логика (прочее) ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Таня задумала натуральное число  X ≤ 100,  а Саша пытается его угадать. Он выбирает пару натуральных чисел M и N, меньших 100, и задаёт вопрос: "Чему равен наибольший общий делитель  X + M  и N?" Докажите, что Саша может угадать Танино число, задав семь таких вопросов.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 43]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .