Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]
|
|
Сложность: 4- Классы: 9,10,11
|
Остроугольный треугольник ABC (AB < AC) вписан в окружность Ω. Пусть M – точка пересечения его медиан, а AH – высота. Луч MH пересекает Ω в точке A'. Докажите, что описанная окружность треугольника A'HB касается прямой
AB.
|
|
Сложность: 4- Классы: 10,11
|
Пусть n > 1 – натуральное число. Выпишем дроби 1/n, 2/n, ...,
n–1/n и приведём каждую к несократимому виду; сумму числителей полученных дробей обозначим через f(n). При каких натуральных n > 1 числа f(n) и f(2015n) имеют
разную чётность?
|
|
Сложность: 4- Классы: 9,10
|
Дан кубический многочлен f(x). Назовём циклом такую тройку различных чисел (a, b, c), что f(a) = b, f(b) = c и f(c) = a. Известно, что нашлись восемь циклов (ai, bi, ci), i = 1, 2, ..., 8, в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида ai + bi + ci есть хотя бы три различных.
|
|
Сложность: 4- Классы: 8,9,10
|
Даны три приведённых квадратных трехчлена: P1(x), P2(x) и P3(x). Докажите, что уравнение |P1(x)| + |P2(x)| = |P3(x)| имеет не более восьми корней.
|
|
Сложность: 4- Классы: 9,10,11
|
Могут ли все числа 1, 2, 3 ... 100 быть членами 12 геометрических прогрессий?
Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]