ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Голованов А.С.

Александр Сергеевич Голованов - зам. директора Центра Математического образования Санкт-Петербурга, член жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      



Задача 65251

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Пусть  n > 1  – натуральное число. Выпишем дроби  1/n, 2/n, ..., n–1/n  и приведём каждую к несократимому виду; сумму числителей полученных дробей обозначим через  f(n). При каких натуральных  n > 1  числа  f(n) и  f(2015n) имеют разную чётность?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65751

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Дан кубический многочлен  f(x). Назовём циклом такую тройку различных чисел  (a, b, c),  что  f(a) = b,  f(b) = c  и  f(c) = a.  Известно, что нашлись восемь циклов  (ai, bi, ci),  i = 1, 2, ..., 8,  в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида  ai + bi + ci  есть хотя бы три различных.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109558

Темы:   [ Уравнения с модулями ]
[ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Даны три приведённых квадратных трехчлена:  P1(x), P2(x) и P3(x). Докажите, что уравнение  |P1(x)| + |P2(x)| = |P3(x)|  имеет не более восьми корней.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109596

Темы:   [ Геометрическая прогрессия ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Могут ли все числа 1, 2, 3, 100 быть членами 12 геометрических прогрессий?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109619

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Существуют ли три натуральных числа, больших 1 и таких, что квадрат каждого из них, уменьшенный на единицу, делится на каждое из остальных?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .