Все авторы
>>
Мякишев А.Г. 
Фильтр
Выбрано 13 задач Убрать все задачи
Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники, у каждого из которых отметили одну сторону.
Докажите, что сумма длин всех отмеченных сторон не может быть меньше 1.
В клетках таблицы 15×15 изначально записаны нули. За один ход разрешается выбрать любой её столбец или любую строку, стереть записанные там числа и записать туда все числа от 1 до 15 в произвольном порядке – по одному в каждую клетку. Какую максимальную сумму чисел в таблице можно получить такими ходами?
У Алёши есть пирожные, разложенные в несколько коробок. Алёша записал, сколько пирожных в каждой коробке. Серёжа взял по одному пирожному из каждой коробки и положил их на первый поднос. Затем он снова взял по одному пирожному из каждой непустой коробки и положил их на второй поднос – и так далее, пока все пирожные не оказались разложенными по подносам. После этого Серёжа записал, сколько пирожных на каждом подносе. Докажите, что количество различных чисел среди записанных Алёшей равно количеству различных чисел среди записанных Серёжей.
Последовательность (an) задана условиями a1= 1000000 , an+1=n[]+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
В гоночном турнире 12 этапов и n участников. После каждого этапа все участники в зависимости от занятого места k получают баллы ak (числа ak натуральны, и a1 > a2 > ... > an). При каком наименьшем n устроитель турнира может выбрать числа a1, ..., an так, что после предпоследнего этапа при любом возможном распределении мест хотя бы двое участников имели шансы занять первое место.
300 бюрократов разбиты на три комиссии по 100 человек. Каждые два бюрократа либо знакомы друг с другом, либо незнакомы. Докажите, что найдутся два таких бюрократа из разных комиссий, что в третьей комиссии есть либо 17 человек, знакомых с обоими, либо 17 человек, незнакомых с обоими.
Пусть a1, a2, ..., a10 – натуральные числа, a1 < a2 < ... < a10. Пусть bk – наибольший делитель ak, меньший ak. Оказалось, что b1 > b2 > ... > b10.
Докажите, что a10 > 500.
Oколо четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Точка P – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую BC, Q – из A на DC, R – из D на AB и T – из D на BC. Докажите, что точки P, Q, R и T лежат на одной окружности.
Имеются две параллельные прямые p1 и p2.
Точки A и B лежат на p1, а C – на p2. Будем перемещать отрезок BC параллельно самому себе и рассмотрим все треугольники ABC, полученные таким образом. Найдите геометрическое место точек, являющихся в этих треугольниках:
а) точками пересечения высот;
б) точками пересечения медиан;
в) центрами описанных окружностей.
Можно ли разбить клетчатую доску 12×12 на уголки из трёх соседних клеток так, чтобы каждый горизонтальный и каждый вертикальный ряд клеток доски пересекал одно и то же количество уголков? (Ряд пересекает уголок, если содержит хотя бы одну его клетку.)
Даны два выпуклых многоугольника. Известно, что расстояние между
любыми двумя вершинами первого не больше 1 , расстояние между
любыми двумя вершинами второго также не больше 1, а расстояние между любыми двумя вершинами разных многоугольников больше,
чем 1/ . Докажите, что многоугольники не имеют общих внутренних точек.
В стране 2001 город, некоторые пары городов соединены дорогами, причём из каждого города выходит хотя бы одна дорога и нет города, соединённого дорогами со всеми остальными. Назовём множество городов D доминирующим, если каждый не входящий в D город соединён дорогой с одним из городов множества D. Известно, что в каждом доминирующем множестве хотя бы k городов. Докажите, что страну можно разбить на 2001 – k республик так, что никакие два города из одной республики не будут соединены дорогой.
Дан треугольник АВС. Точка О1 – центр прямоугольника ВСDE, построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О2 и О3 являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО1, ВО2 и СО3 пересекаются в одной точке.
Все задачи автора Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]
Задача 116133 |
|
|
Oколо четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Точка P – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую BC, Q – из A на DC, R – из D на AB и T – из D на BC. Докажите, что точки P, Q, R и T лежат на одной окружности.
|
|
Решение |
Задача 64968 |
|
Около треугольника ABC описали окружность. A1 – точка пересечения с нею прямой, параллельной BC и проходящей через A. Точки B1 и C1 определяются аналогично. Из точек A1, B1, C1 опустили перпендикуляры на BC, CA, AB соответственно. Докажите, что эти три перпендикуляра пересекаются в одной точке.
|
|
Решение |
Задача 115734 |
|
|
Имеются две параллельные прямые p1 и p2.
Точки A и B лежат на p1, а C – на p2. Будем перемещать отрезок BC параллельно самому себе и рассмотрим все треугольники ABC, полученные таким образом. Найдите геометрическое место точек, являющихся в этих треугольниках:
а) точками пересечения высот;
б) точками пересечения медиан;
в) центрами описанных окружностей.
|
|
|
Решение |
Задача 115738 |
|
|
Пусть O – центр правильного треугольника ABC. Из произвольной точки P плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через M точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров. Докажите, что M – середина отрезка PO.
|
|
|
Решение |
Задача 116182 |
|
|
Дан треугольник АВС. Точка О1 – центр прямоугольника ВСDE, построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О2 и О3 являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО1, ВО2 и СО3 пересекаются в одной точке.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]
