Все авторы
>>
Агаханов Н.Х. 
Назар Хангельдыевич Агаханов (р. 1954) - доцент кафедры высшей математики МФТИ, кандидат физико-математических наук. C 1974 года член жюри Всесоюзной (в 1992 году - Межреспубликанской, c 1993 года - Всероссийской олимпиады школьников по математике). Лидер национальной команды России на международной математической олимпиаде. Председатель Консультативного совета международной математической олимпиады.
Фильтр
Выбрано 11 задач Убрать все задачи
Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1.
Докажите неравенство:
Известно, что числа а, b, c и d – целые и . Может ли выполняться равенство аbcd = 2012?
Пусть AHa и BHb – высоты, а ALa и BLb – биссектрисы треугольника ABC. Известно, что HaHb || LaLb. Верно ли, что AC = BC?
На продолжении наибольшей стороны AC треугольника ABC отложен
отрезок |CD|=|BC| . Доказать, что ABD тупой.
В треугольнике ABC AA1 и BB1 – высоты. На стороне AB выбраны точки M и K так, что B1K || BC и MA1 || AC. Докажите, что ∠AA1K = ∠BB1M.
Доказать неравенство abc² + bca² + cab² ≤ a4 + b4 + c4.
Натуральные числа a, b, c, d попарно взаимно просты и удовлетворяют равенству ab + cd = ac – 10bd.
Докажите, что среди них найдутся три числа, одно из которых равно сумме двух других.
Разрежьте первый параллелограмм на три части и сложите из них второй.
Биссектриса, медиана и высота некоторого треугольника, проведённые из трёх разных вершин, пересекаются в одной точке и делят этот треугольник на шесть треугольников (см.рисунок). Площади трёх закрашенных треугольников равны. Верно ли, что исходный треугольник равносторонний?
Петя играет в игру-стрелялку. Если он наберёт менее 1000 очков, то компьютер добавит ему 20% от его результата. Если он наберёт от 1000 до 2000 очков, то компьютер добавит ему 20% от первой тысячи очков и 30% от оставшегося количества очков. Если Петя наберёт более 2000 очков, то компьютер добавит ему 20% от первой тысячи очков, 30% от второй тысячи и 50% от оставшегося количества. Сколько призовых очков получил Петя, если по окончании игры у него было 2370 очков?
Пусть ABCD – четырёхугольник с параллельными сторонами AD и BC; M и N – середины его сторон AB и CD соответственно. Прямая MN делит пополам отрезок, соединяющий центры окружностей, описанных около треугольников ABC и ADC. Докажите, что ABCD – параллелограмм.
Все задачи автора Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 105]
Задача 66012 |
|
|
В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на 2016?
|
|
Решение |
Задача 66018 |
|
|
В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 15 раз?
|
|
|
Решение |
Задача 66160 |
|
|
Пусть P(x) – многочлен степени n ≥ 2 с неотрицательными коэффициентами, а a, b и c – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.
|
|
|
Решение |
Задача 66162 |
|
|
Число x таково, что обе суммы S = sin 64x + sin 65x и C = cos 64x + cos 65x – рациональные числа.
Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.
|
|
|
Решение |
Задача 108209 |
|
|
Пусть ABCD – четырёхугольник с параллельными сторонами AD и BC; M и N – середины его сторон AB и CD соответственно. Прямая MN делит пополам отрезок, соединяющий центры окружностей, описанных около треугольников ABC и ADC. Докажите, что ABCD – параллелограмм.
|
|
Решение |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 105]
