Страница:
<< 1 2
3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
В каждой клетке квадратной таблицы размером n×n клеток (n ≥ 3) записано число 1 или –1. Если взять любые две строки, перемножить числа, стоящие в них друг над другом и сложить n получившихся произведений, то сумма будет равна 0. Докажите, что число n делится на 4.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Внутри выпуклого пятиугольника выбраны две точки.
Докажите, что можно выбрать четырёхугольник с
вершинами в вершинах пятиугольника так, что внутрь
него попадут обе выбранные точки.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Обозначим через S(m) сумму цифр натурального числа m.
Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных n, что
S(3n) ≥ S(3n+1).
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Каждый голосующий на выборах вносит в избирательный бюллетень фамилии
n
кандидатов. На избирательном участке находится
n+1
урна. После выборов
выяснилось, что в каждой урне лежит по крайней мере один бюллетень и
при всяком выборе
(
n+1)
-го бюллетеня по одному из каждой урны
найдется кандидат,
фамилия которого встречается в каждом из выбранных бюллетеней. Докажите, что
по крайней мере в одной урне все бюллетени содержат фамилию одного и того же
кандидата.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше m² + 1 точек с целыми координатами.
Докажите, что в нём найдутся m + 1 точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.
Страница:
<< 1 2
3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]
Все авторы
>>
Дольников В.Л. 
