Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 87]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. ( Изотомическими прямыми треугольника $ABC$ называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми $BC$, $CA$, $AB$ симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника.)
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Пусть точка A' лежит на одной из сторон трапеции ABCD , причём
прямая AA' делит площадь трапеции пополам. Точки B' ,
C' и D' определяются аналогично. Докажите, что точка пересечения
диагоналей четырёхугольников ABCD и A'B'C'D' симметричны
относительно середины средней линии трапеции ABCD .
Дан треугольник ABC . На прямой AC отмечена точка B1
так, что AB=AB1 , при этом B1 и C находятся по
одну сторону от A . Через точки C , B1 и основание
биссектрисы угла A треугольника ABC проводится окружность
, вторично пересекающая окружность, описанную около
треугольника ABC , в точке Q . Докажите, что касательная,
проведённая к в точке Q , параллельна AC .
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Пусть IA и IB – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC и CA треугольника ABC соответственно, а P – точка на описанной окружности Ω этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных
окружностей треугольников IACP и IBCP, совпадает с центром окружности Ω.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Четырехугольник ABCD описан около окружности.
Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K ,
внешних углов B и C – в точке L ,
внешних углов C и D – в точке M ,
внешних углов D и A – в точке N .
Пусть K1 , L1 , M1 , N1 – точки пересечения высот
треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно.
Докажите, что четырехугольник K1L1M1N1 – параллелограмм.
Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 87]
Все авторы
>>
Емельянов Л.А. 
