Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 90]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10
|
В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A, B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM, BM, CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой MH.
В треугольнике ABC проведена биссектриса BD (точка D лежит на отрезке AC ). Прямая BD пересекает окружность Ω ,
описанную около треугольника ABC , в точках B и E . Окружность ω , построенная на отрезке DE как на диаметре,
пересекает окружность Ω в точках E и F . Докажите, что прямая, симметричная прямой BF относительно прямой BD ,
содержит медиану треугольника ABC .
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Двое игроков по очереди расставляют в каждой из 24 клеток поверхности куба 2×2×2
числа 1, 2, 3, 24 (каждое число можно ставить один раз).
Второй игрок хочет, чтобы суммы чисел в клетках каждого кольца из 8 клеток,
опоясывающего куб, были одинаковыми. Сможет ли первый игрок ему
помешать?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD выбраны точки A1 и C1 соответственно. Отрезки AC1 и CA1 пересекаются в точке P .
Описанные окружности треугольников AA1P и CC1P вторично пересекаются в точке Q , лежащей внутри треугольника ACD .
Докажите, что 
PDA= QBA .
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
В треугольнике ABC O, M, N – центр описанной окружности, центр тяжести и точка Нагеля соответственно.
Докажите, что угол MON прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.
Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 90]
Все авторы
>>
Емельянов Л.А. 
