Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7?

   Решение

Домашнее задание. Повесьте ботинок со шнурками за боковую сторону стола (не за угол!) с помощью трех спичек.

   Решение

В правильной треугольной пирамиде SABC ( S – вершина) точки D и E являются серединами рёбер AC и BC соответственно. Через точку E проведена плоскость β , пересекающая рёбра AB и SB и удалённая от точек D и B на одинаковое расстояние, равное . Найдите длины отрезков, на которые плоскость делит ребро SB , если BC=4 , SC=3 .

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 51]      

Дан равносторонний треугольник ABC и прямая l, проходящая через его центр. Точки пересечения этой прямой со сторонами AB и BC отразили относительно середин этих сторон соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через получившиеся точки, касается вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

H – точка пересечения высот AA' и BB' остроугольного треугольника ABC. Прямая, перпендикулярная AB, пересекает эти высоты в точках D и E, а сторону AB – в точке P. Докажите, что ортоцентр треугольника DEH лежит на отрезке CP.

Прислать комментарий

Решение

Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(KLA, KLM),  ∠(LMB, LMN),  ∠(MNC, MNK)  и  ∠(NKD, NKL)  равны. (Через  ∠(PQR, PQS)  обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость α лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ – середины сторон BC, CA и AB соответственно. Точки B₂ и C₂ – середины отрезков BA₁ и CA₁ соответственно. Точка B₃ симметрична C₁ относительно B, а точка C₃ симметрична B₁ относительно C. Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников BB₂B₃ и CC₂C₃ лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ проходит через центр O треугольника ABC. Окружности Г_b и Г_c построены на отрезках BP и CQ как на диаметрах.
Докажите, что окружности Г_b и Г_c пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на Ω, а другая – на ω.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 51]