Все авторы
>>
Акопян А.В. 
Фильтр
Выбрано 7 задач Убрать все задачи
Окружность, вписанная в угол с вершиной O касается его сторон в точках A и B , K – произвольная точка на меньшей из двух дуг AB этой окружности. На прямой OB взята точка L такая, что прямые OA и KL параллельны. Пусть M – точка пересечения окружности , описанной около треугольника KLB , с прямой AK , отличная от K . Докажите, что прямая OM касается окружности .
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD . Пусть P и Q – точки пересечения лучей BA и CD , BC и AD соответственно, а H – проекция D на PQ . Докажите, что четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников ADP и CDQ видны из точки H под равными углами.
В треугольнике ABC взята такая точка O, что ∠COA = ∠B + 60°, ∠COB = ∠A + 60°, AOB = ∠C + 60°. Докажите, что если из отрезков AO, BO и CO можно составить треугольник, то из высот треугольника ABC тоже можно составить треугольник и эти треугольники подобны.
Через точку пересечения высот остроугольного треугольника ABC проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.
Набор пятизначных чисел {N1 , Nk} таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в неубывающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним их чисел N1 , Nk . Найдите наименьшее возможное значение k .
У выпуклого многогранника 2n граней ( n 3 ), и все грани
являются треугольниками. Какое наибольшее число вершин, в которых
сходится ровно 3 ребра, может быть у такого многогранника?
На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (т.е. перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.
Все задачи автора Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]
Задача 116185 |
|
|
Дан параллелограм ABCD. Прямая, параллельная AB, пересекает
биссектрисы углов A и C в точках P и Q соответственно.
Докажите, что углы ADP и ABQ равны.
|
|
Решение |
Задача 116084 |
|
|
Существуют ли два таких четырехугольника, что стороны первого меньше соответствующих сторон второго, а соответствующие диагонали больше?
|
|
|
Решение |
Задача 64735 |
|
|
Два треугольника пересекаются. Докажите, что внутри описанной окружности одного из них лежит хотя бы одна вершина другого. (Треугольником считается часть плоскости, ограниченная замкнутой трёхзвенной ломаной; точка, лежащая на окружности, считается лежащей внутри неё.)
|
|
|
Решение |
Задача 66914 |
|
|
Четырехугольник $ABCD$ – вписанный. Окружность, проходящая через точки $A$ и $B$, пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Пусть прямые $AF$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $BE$ и $AD$ – в точке $Q$. Докажите, что $PQ$ параллельна $CD$.
|
|
|
Решение |
Задача 66918 |
|
|
Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Пусть $O$ – точка пересечения общих внешних касательных к $\omega_1$ и $\omega_2$. Прямая, проходящая через точку $O$, пересекает $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно, так, что эти две точки лежат по одну сторону от $PQ$. Прямая $PA$ повторно пересекает $\omega_2$ в точке $C$, а прямая $QB$ повторно пересекает $\omega_1$ в точке $D$. Докажите, что $O$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]
