Из точки M внутри четырёхугольника ABCD опущены перпендикуляры на стороны. Основания перпендикуляров лежат внутри сторон. Обозначим эти основания: то, которое лежит на стороне AB — через X, лежащее на стороне BC — через Y, лежащее на стороне CD — через Z, лежащее на стороне DA — через T. Известно, что AX ≥ XB, BY ≥ YC, CZ ≥ ZD, DT ≥ TA. Докажите, что вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

   Решение

Основание пирамиды – квадрат. Высота пирамиды пересекает диагональ основания. Найдите наибольший объём такой пирамиды, если периметр диагонального сечения, содержащего высоту пирамиды, равен 5.

   Решение

Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]      

Про положительные числа a, b, c известно, что  ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c ≥ a + b + c.  Докажите, что  a + b + c ≥ 3abc.

Прислать комментарий

Решение

Произведение положительных чисел x, y и z равно 1.
Докажите, что если  ¹/_x + ¹/_y + ¹/_z ≥ x + y + z,  то для любого натурального k выполнено неравенство  x^–k + y^–k + z^–k ≥ x^k + y^k + z^k.

Прислать комментарий

Решение

Для некоторых положительных чисел x и y выполняется неравенство  x² + y³ ≥ x³ + y⁴.  Докажите, что  x³ + y³ ≤ 2.

Прислать комментарий

Решение

Сумма положительных чисел a, b, c равна 3. Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

В равнобедренном треугольнике ABC ( AB=BC ) точка O – центр описанной окружности. Точка M лежит на отрезке BO , точка M' симметрична M оносительно середины AB . Точка K – точка пересечения M'O и AB . Точка L на стороне BC такова, что CLO = BLM . Докажите, что точки O , K , B , L лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]