Алёша написал на доске пять целых чисел – коэффициенты и корни квадратного трёхчлена. Боря стёр одно из них. Остались числа 2, 3, 4, –5. Восстановите стёртое число.

   Решение

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Доказать, что конец D отрезка BD, выходящего из вершины B, параллельного основанию и равного боковой стороне треугольника, является центром вневписанной окружности треугольника.

   Решение

Даны две окружности, касающиеся друг друга внутренним образом в точке A); из точки B большей окружности, диаметрально противоположной точке A, проведена касательная BC к меньшей окружности. Прямые BC и AC пересекает большую окружность в точках D и E соответственно. Докажите, что дуги DE и BE равны.

   Решение

Нарисован угол, и ещё имеется только циркуль.
  а) Какое наименьшее число окружностей надо провести, чтобы наверняка определить, является ли данный угол острым?
  б) Как определить, равен ли данный угол 31° (разрешается проводить сколько угодно окружностей)?

   Решение

В треугольник ABC вписан ромб CKLN так, что точка L лежит на стороне AB, точка N – на стороне AC, точка K – на стороне BC. Пусть O₁, O₂ и O – центры описанных окружностей треугольников ACL, BCL и ABC соответственно. Пусть P – точка пересечения описанных окружностей треугольников ANL и BKL, отличная от L. Докажите, что точки O₁, O₂, O и P лежат на одной окружности.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

В остроугольном треугольнике ABC  AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты. Прямые AA₁ и B₁C₁ пересекаются в точке K. Окружности, описанные вокруг треугольников A₁KC₁ и A₁KB₁, вторично пересекают прямые AB и AC в точках N и L соответственно. Докажите, что
  а) сумма диаметров этих окружностей равна стороне BC.

  б)  

Прислать комментарий

Решение

Через вершины B и C треугольника ABC провели перпендикулярно прямой BC прямые b и c соответственно. Серединные перпендикуляры к сторонам AC и AB пересекают прямые b и c в точках P и Q соответственно. Докажите, что прямая PQ перпендикулярна медиане AM треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

У листа бумаги только один ровный край. Лист согнули, потом разогнули обратно. A – общая точка ровного края и линии сгиба. Постройте перпендикуляр к этой линии в точке A. Сделайте это без помощи чертёжных инструментов, а лишь перегибая бумагу.

Прислать комментарий

Решение

В треугольник ABC вписан ромб CKLN так, что точка L лежит на стороне AB, точка N – на стороне AC, точка K – на стороне BC. Пусть O₁, O₂ и O – центры описанных окружностей треугольников ACL, BCL и ABC соответственно. Пусть P – точка пересечения описанных окружностей треугольников ANL и BKL, отличная от L. Докажите, что точки O₁, O₂, O и P лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Точки B₁ и B₂ лежат на луче AM, а точки C₁ и C₂ на луче AK. Окружность с центром O вписана в треугольники AB₁C₁ и AB₂C₂.
Докажите, что углы B₁OB₂ и C₁OC₂ равны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]