ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Швецов Д.В.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 63]      



Задача 66930

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Биссектрисы $AA_1, BB_1, CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BB_1$ пересекает прямые $AA_1$, $CC_1$ в точках $A_0$, $C_0$. Докажите, что описанные окружности треугольников $A_0IC_0$ и $ABC$ касаются.
Прислать комментарий     Решение


Задача 116904

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Точки A2, B2, C2 симметричны точкам A1, B1, C1 относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA2, BB2, CC2 пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66145

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Замечательное свойство трапеции ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Вписанная окружность неравнобедренного треугольника ABC касается сторон AB, BC и ABC в точках C1, A1 и B1 соответственно. Описанная окружность треугольника A1BC1 пересекает прямые B1A1 и B1C1 в точках A0 и C0 соответственно. Докажите, что ортоцентр H треугольника A0BC0, центр I вписанной окружности треугольника ABC и середина M стороны AC лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116898

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором  ∠B = 120°.  На продолжениях сторон AB и CB за точку B взяли точки P и Q соответственно так, что лучи AQ и CP пересекаются под прямым углом. Докажите, что  ∠PQB = 2∠PCQ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116901

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Высоты AA1, CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка Q симметрична середине стороны AC относительно AA1. Точка P – середина отрезка A1C1. Докажите, что  ∠QPH = 90°.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 63]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .